Поток (интуиционизм)

Пото́к — одно из основных понятий интуиционистской математики.

Определение

Поток ${\displaystyle M}$ определяется как совокупность двух законов ${\displaystyle \Lambda _{M}}$ и ${\displaystyle \Gamma _{M}}$, называемых законом потока и дополнительным законом соответственно. Закон потока ${\displaystyle \Lambda _{M}}$ делит кортежи натуральных чисел на допустимые и недопустимые и должен обладать следующими свойствами:

1. Пустой кортеж ${\displaystyle \langle \rangle }$ является допустимым.
2. Для любого допустимого кортежа ${\displaystyle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle }$ найдётся по меньшей мере одно натуральное число ${\displaystyle k}$, для которого кортеж ${\displaystyle \langle a_{1},\ldots ,a_{n},k\rangle }$ также будет допустимым.
3. Для любого допустимого кортежа вида ${\displaystyle \langle a_{1},\ldots ,a_{n},k\rangle }$ кортеж ${\displaystyle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle }$ также является допустимым.

Дополнительный закон ${\displaystyle \Gamma _{M}}$ сопоставляет допустимым кортежам произвольные математические объекты.

Свободно становящиеся последовательности натуральных чисел ${\displaystyle \{a_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$, для которых при любом ${\displaystyle n}$ кортеж ${\displaystyle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle }$ является допустимым по закону потока ${\displaystyle M}$, называются допустимыми свободно становящимися последовательностями. Отвечающие им последовательности ${\displaystyle \{\Gamma _{M}(a_{k})\}_{k=1}^{\infty }}$ (где ${\displaystyle \Gamma _{M}}$ — дополнительный закон потока ${\displaystyle M}$) называются элементами потока ${\displaystyle M}$.

Образно поток может быть представлен как дерево, из каждой вершины которого выходит по меньшей мере одна ветвь, и на каждую вершину которого «навешен» тот или иной математический объект. Допустимые свободно становящиеся последовательности натуральных чисел можно представлять в виде бесконечных путей в таком дереве.

Применение в интуиционистской математике

На понятии потока основаны многие конструкции интуиционистского анализа. Так, континуум ${\displaystyle [0,1]}$ нередко рассматривается в интуиционистской математике как следующий поток рациональных отрезков:

1. допустимыми по закону потока считаются кортежи, все элементы которых равны ${\displaystyle 1}$ или ${\displaystyle 2}$;
2. если допустимому кортежу ${\displaystyle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle }$ дополнительным законом сопоставлен отрезок ${\displaystyle [a,b]}$, то кортежу ${\displaystyle \langle a_{1},\ldots ,a_{n},1\rangle }$ сопоставляется отрезок ${\displaystyle [a,(a+b)/2]}$, а кортежу ${\displaystyle \langle a_{1},\ldots ,a_{n},2\rangle }$ — отрезок ${\displaystyle [(a+b)/2,b]}$.

Элементы этого потока считаются вещественными числами, лежащими на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$.

Запирающие условия и бар-индукция

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ — некоторое условие, накладываемое на допустимые кортежи. Такое условие называется запирающим поток, если для любой допустимой по закону потока свободно становящейся последовательности ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ найдётся номер ${\displaystyle n}$, для которого кортеж ${\displaystyle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle }$ удовлетворяет условию ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$. В интуиционистской математике считается приемлемым следующий способ умозаключения:

Такой способ умозаключения называется бар-индукцией.

Одним из характерных примеров применения бар-индукции является принадлежащая Л. Э. Я. Брауэру теорема о веере:

В теоретико-множественной математике аналогичное утверждение известно под именем «лемма Кёнига о бесконечном пути».

Эта страница в последний раз была отредактирована 26 мая 2021 в 16:07.