Постоя́нная Га́усса (обозначение — G ) — математическая константа , которая определяется как величина, обратная среднему арифметико-геометрическому от единицы и квадратного корня из 2 :
G
=
1
agm
(
1
,
2
)
=
0,834
6268
…
.
{\displaystyle G={\frac {1}{\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {2}}\right)}}=0{,}8346268\dots .}
(последовательность A014549 в OEIS )
Константа названа в честь Карла Фридриха Гаусса , который в 1799[1] году обнаружил, что
G
=
2
π
∫
0
1
d
x
1
−
x
4
{\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}
чтобы
G
=
1
2
π
B
(
1
4
,
1
2
)
{\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}\right)}
где Β обозначает бета-функцию .
Энциклопедичный YouTube
1 / 5
Просмотров: 156 891
14 274
6 388
2 126 461
481
Формула Остроградского-Гаусса
Семинар 12. Формула Остроградского — Гаусса.
Слабое место математики: можно ли доказать всё, что истинно? [Veritasium]
Метод Гаусса решения СЛАУ. Метод прогонки. Итерационные методы. Численные методы. Лекция №3
Содержание
Связь с другими константами
Постоянная Гаусса может использоваться для выражения гамма-функции при аргументе
1
4
{\displaystyle {\frac {1}{4}}}
:
Γ
(
1
4
)
=
2
G
2
π
3
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}
В качестве альтернативы,
G
=
[
Γ
(
1
4
)
]
2
2
2
π
3
{\displaystyle G={\frac {\left[\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\right]^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}
а поскольку
π
{\displaystyle \pi }
и
Γ
(
1
4
)
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)}
алгебраически независимы , постоянная Гаусса трансцендентна .
Константы лемнискаты
Константу Гаусса можно использовать при определении констант лемнискаты.
Гаусс и другие используют[2] [3] эквивалент
ϖ
=
π
G
{\displaystyle \varpi =\pi G}
которая является константой лемнискаты, известной в теории лемнискатических функций.
Однако Джон Тодд использует другую терминологию — в своей статье числа
A
{\displaystyle A}
и
B
{\displaystyle B}
называются константами лемнискаты, первая из которых
A
=
π
G
2
=
ϖ
2
=
1
4
B
(
1
4
,
1
2
)
{\displaystyle A={\frac {\pi G}{2}}={\frac {\varpi }{2}}={\frac {1}{4}}\mathrm {B} \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right)}
и вторая константа:
B
=
1
2
G
=
1
4
B
(
1
2
,
3
4
)
.
{\displaystyle B={\frac {1}{2G}}={\frac {1}{4}}\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}}\right).}
Они возникают при нахождении длины дуги лемнискаты .
A
{\displaystyle A}
и
B
{\displaystyle B}
Теодор Шнайдер доказал их трансцендентность в 1937 и 1941 годах соответственно.[4]
Другие формулы
Формула, выражающая G через тета-функции Якоби , выглядит следующим образом:
G
=
ϑ
01
2
(
e
−
π
)
{\displaystyle G=\vartheta _{01}^{2}\left(e^{-\pi }\right)}
Также существуют представление в виде ряда с быстрой сходимостью, например следующий:
G
=
32
4
e
−
π
3
(
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
e
−
2
n
π
(
3
n
+
1
)
)
2
.
{\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.}
Константу также можно выразить бесконечным произведением
G
=
∏
m
=
1
∞
tanh
2
(
π
m
2
)
.
{\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).}
Эта константа появляется при оценке интегралов
1
G
=
∫
0
π
2
sin
(
x
)
d
x
=
∫
0
π
2
cos
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\sin(x)}}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\cos(x)}}\,dx}
G
=
∫
0
∞
d
x
cosh
(
π
x
)
{\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}}}
Представление константы в виде непрерывной дроби:
G
=
[
0
,
1
,
5
,
21
,
3
,
4
,
14
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
3
,
1
,
15
,
1
,
3
,
8
,
36
,
1
,
2
,
5
,
2
,
1
,
1
,
2
,
2
,
6
,
9
,
1
,
1
,
1
,
3
,
1
,
…
]
.
{\displaystyle G=[0,1,5,21,3,4,14,1,1,1,1,1,3,1,15,1,3,8,36,1,2,5,2,1,1,2,2,6,9,1,1,1,3,1,\dots ].}
(последовательность A053002 в OEIS )
Примечания
↑ Nielsen, Mikkel Slot. Undergraduate convexity : problems and solutions. — July 2016. — P. 162. — ISBN 9789813146211 .
↑ Kobayashi, Hiroyuki & Takeuchi, Shingo (2019), Applications of generalized trigonometric functions with two parameters
↑ Asai, Tetsuya (2007), Elliptic Gauss Sums and Hecke L-values at s=1
↑ Todd, John The lemniscate constants (неопр.) . ACM DL (1975). Дата обращения: 19 июля 2021. Архивировано 19 июля 2021 года.
Источники
Эта страница в последний раз была отредактирована 19 июня 2023 в 22:13.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.