Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Альтернативы
Недавние
Show all languages
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Порядковый типизоморфный тип частично упорядоченного множества. Неформально говоря порядковый тип — это характеристика, определяющее упорядоченное множество с точностью до изоморфизма, то есть два упорядоченных множества изоморфны тогда и только тогда, когда у них один и тот же порядковый тип.[1]

Некоторые авторы определяют порядковый тип только для линейно-упорядоченных множеств.[2]

Определение

При формальном определении порядкового типа возникают те же трудности, что и при определении мощности множества.

Наивный подход

Простейшим подходом является определение порядкового типа множества как класс изоморфности частично упорядоченных множеств. Назовём порядковым типом частично упорядоченного множества совокупность всех множеств, изоморфных данному. Однако такое определение недопустимо в ZF, поскольку такая совокупность множеств не является множеством в смысле ZF. Для определения порядкового типа в ZF требуется иной подход.[3]

Вполне упорядоченные множества

Для вполне упорядоченного множества порядковый тип обычно определяется как транзитивное множество, вполне упорядоченное отношением принадлежности и с этим порядком изоморфное заданному. Известным фактом является то, что для любого вполне упорядоченного множества существует одно и только одно множество такого вида.

Порядковый тип вполне упорядоченного множества называется ординалом; наряду с кардиналами ординалы образуют одно из возможных расширений множества натуральных чисел.[3]

Трюк Даны Скотта

Определение порядкового типа в ZF для общего случая произвольного частично упорядоченного множества использует ту же самую конструкцию, что и определение мощности множества в ZFтрюк Даны Скотта. Порядковый тип множества определяется не как класс всех изоморфных ему упорядоченных множеств, а как подмножество данного класса, состоящее из всех множеств минимального ранга.[4]

Примеры

  • Порядковый тип конечного линейно упорядоченного множества отождествляется с количеством его элементов и, таким образом, является натуральным числом. Поэтому класс всех порядковых типов образует расширение натуральных чисел.[5]
  • Порядковый тип множества натуральных чисел обозначается .[6]
  • Порядковый тип множества рациональных чисел обозначается .[6]
  • Порядковый тип множества действительных чисел обозначается .[6]

Операции

На классе порядковых типов можно определить операции сложения и умножения подобно стандартным арифметическим операциям:

  • Сложение. Пусть не пересекающиеся частично упорядоченные множества. Упорядоченной суммой множеств и называется их объединение , упорядоченное следующим отношением порядка:
.

Упорядоченная сумма обозначается [7] или [6]. Порядковый тип упорядоченной суммы зависит только от порядковых типов её слагаемых и не зависит от конкретных упорядоченных множеств, что позволяет определить эту операцию на порядковых типах. Сумма произвольных порядковых типов и определяется как порядковый тип упорядоченной суммы и , где имеют порядковые типы соответственно. Более кратко:

Как можно видеть, сумма порядковых типов не является коммутативной операцией. Простейший пример: — порядковый тип , однако — порядковый тип .

  • Умножение. Пусть некоторые частично упорядоченные множества. Упорядоченным (антилексикографическим) произведением множеств и называется их декартово произведение , упорядоченное следующим отношением порядка:
.

Упорядоченное произведение обозначается [8] или [9]. Порядковый тип упорядоченного произведения зависит только от порядковых типов его множителей и не зависит от конкретных упорядоченных множеств, что позволяет определить эту операцию на порядковых типах. Произведение произвольных порядковых типов и определяется как порядковый тип упорядоченного произведения и , где имеют порядковые типы соответственно. Более кратко:

Как можно видеть, произведение порядковых типов не является коммутативной операцией. Простейший пример: , однако .

Также часто рассматривают двойственный порядковый тип. Двойственным упорядоченным множеством к называется упорядоченное множество и обозначается как .[10] Порядковый тип зависит только от порядкового типа , поэтому для порядкового типа можно также определить понятие двойственного порядкового типа:

Двойственный порядковый тип к натуральному числу равен тому же натуральному числу . Двойственный порядковый тип к есть порядковый тип множества отрицательных чисел . Сумма равна порядковому типу множества целых чисел. При этом сумма не равна порядковому типу целых чисел.[6] Двойственный порядковый тип к двойственному даёт тот же порядковый тип: .[10]

См. также

Примечания

Литература

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Москва: Наука, 1976. — 543 с.
  • Just W., Weese M. Discovering Modern Set Theory. I: The Basics (англ.). — American Mathematical Societ, 1996. — 210 p.
  • Jech T. Set theory (англ.). — Springer, 2002. — 769 p.
  • Laver R. On Fraisse's Order Type Conjecture (англ.) // Annals of Mathematics : журнал. — 1971. — January (vol. 93, iss. 1). — P. 89–111.
  • Faigle U. Geometries on Partially Ordered Sets (англ.) // Journal of Combinatorial Theory : журнал. — 1980. — Vol. 28. — P. 26–51.
Эта страница в последний раз была отредактирована 1 апреля 2024 в 03:55.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).