Подкатегория

Подкатегория в теории категорий — категория ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, объекты которой являются также объектами заданной категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ и морфизмы которой являются также морфизмами в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, с теми же тождественными морфизмами и правилами композиции.

Формально подкатегория ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ для категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ задаётся при помощи:

• подкласса объектов ${\displaystyle \mathrm {Ob} ({\mathcal {S}})\subseteq \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}})}$,
• подкласса морфизмов ${\displaystyle \mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})\subseteq \mathrm {Hom} ({\mathcal {C}})}$

таких, что выполняются следующие условия:

• для каждого ${\displaystyle X\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {S}})}$ тождественный морфизм ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$ принадлежит ${\displaystyle \mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})}$,
• для каждого морфизма ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ в ${\displaystyle \mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})}$ его прообраз ${\displaystyle X}$ и образ ${\displaystyle Y}$ лежат в ${\displaystyle \mathrm {Ob} ({\mathcal {S}})}$,
• для каждой пары морфизмов ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ в ${\displaystyle \mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})}$ их композиция ${\displaystyle f\circ g}$ лежит в ${\displaystyle \mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})}$, если она определена в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Из этих условий следует, что ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ является категорией. Существует очевидный унивалентный функтор ${\displaystyle I\colon {\mathcal {S}}\longrightarrow {\mathcal {C}}}$, называемый функтором вложения.

Подкатегория ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ называется полной подкатегорией ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, если для каждой пары объектов ${\displaystyle X,Y\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {S}})}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {S}}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)}$.

Подкатегория ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ называется замкнутой относительно изоморфизма, если любой изоморфизм ${\displaystyle k\colon X\to Y}$ в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, такой что ${\displaystyle Y}$ принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, также принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$. Замкнутая относительно изморфизма полная подкатегория называется строго полной.

Подкатегория ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ — широкая, если она содержит все объекты ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. В частности, единственная широкая полная подкатегория категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — сама ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Отражающая подкатегория — подкатегория, функтор вложения которой имеет левый сопряжённый.

Литература

• Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

Эта страница в последний раз была отредактирована 24 января 2023 в 22:33.