кусок поверхности Эннепера Поверхность Эннепера — определённый тип самопересекающейся минимальной поверхности .
Рассматривалась Альфредом Эннепером в 1864 году.
Энциклопедичный YouTube
Математика 40. Треугольник Паскаля. Геометрия мыльных пузырей — Академия занимательных наук
Содержание Уравнения Поверхность Эннепера может быть описана параметрически как
x
=
u
(
1
−
u
2
/
3
+
v
2
)
/
3
,
{\displaystyle x=u(1-u^{2}/3+v^{2})/3,}
y
=
−
v
(
1
−
v
2
/
3
+
u
2
)
/
3
,
{\displaystyle y=-v(1-v^{2}/3+u^{2})/3,}
z
=
(
u
2
−
v
2
)
/
3.
{\displaystyle z=(u^{2}-v^{2})/3.}
64
z
9
−
128
z
7
+
64
z
5
−
702
x
2
y
2
z
3
−
18
x
2
y
2
z
+
144
(
y
2
z
6
−
x
2
z
6
)
+
{\displaystyle 64z^{9}-128z^{7}+64z^{5}-702x^{2}y^{2}z^{3}-18x^{2}y^{2}z+144(y^{2}z^{6}-x^{2}z^{6})+}
+
162
(
y
4
z
2
−
x
4
z
2
)
+
27
(
y
6
−
x
6
)
+
9
(
x
4
z
+
y
4
z
)
+
48
(
x
2
z
3
+
y
2
z
3
)
−
{\displaystyle {}+162(y^{4}z^{2}-x^{4}z^{2})+27(y^{6}-x^{6})+9(x^{4}z+y^{4}z)+48(x^{2}z^{3}+y^{2}z^{3})-}
−
432
(
x
2
z
5
+
y
2
z
5
)
+
81
(
x
4
y
2
−
x
2
y
4
)
+
240
(
y
2
z
4
−
x
2
z
4
)
−
135
(
x
4
z
3
+
y
4
z
3
)
=
0.
{\displaystyle {}-432(x^{2}z^{5}+y^{2}z^{5})+81(x^{4}y^{2}-x^{2}y^{4})+240(y^{2}z^{4}-x^{2}z^{4})-135(x^{4}z^{3}+y^{4}z^{3})=0.}
Свойства Касательная плоскость в точке с заданными параметрами
(
u
,
v
)
{\displaystyle (u,v)}
a
+
b
x
+
c
y
+
d
z
=
0
{\displaystyle a+bx+cy+dz=0}
a
=
−
(
u
2
−
v
2
)
(
1
+
u
2
/
3
+
v
2
/
3
)
,
{\displaystyle a=-(u^{2}-v^{2})(1+u^{2}/3+v^{2}/3),}
b
=
6
u
,
{\displaystyle b=6u,}
c
=
6
v
,
{\displaystyle c=6v,}
d
=
−
3
(
1
−
u
2
−
v
2
)
.
{\displaystyle d=-3(1-u^{2}-v^{2}).}
Коэффициенты удовлетворяют уравнению 6-й степени
162
a
2
b
2
c
2
+
6
b
2
c
2
d
2
−
4
(
b
6
+
c
6
)
+
54
(
a
b
4
d
−
a
c
4
d
)
+
81
(
a
2
b
4
+
a
2
c
4
)
+
{\displaystyle 162a^{2}b^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}d^{2}-4(b^{6}+c^{6})+54(ab^{4}d-ac^{4}d)+81(a^{2}b^{4}+a^{2}c^{4})+}
+
4
(
b
4
c
2
+
b
2
c
4
)
−
3
(
b
4
d
2
+
c
4
d
2
)
+
36
(
a
b
2
d
3
−
a
c
2
d
3
)
=
0.
{\displaystyle {}+4(b^{4}c^{2}+b^{2}c^{4})-3(b^{4}d^{2}+c^{4}d^{2})+36(ab^{2}d^{3}-ac^{2}d^{3})=0.}
Якобиан
J
{\displaystyle J}
гауссова кривизна
K
{\displaystyle K}
средняя кривизна
H
{\displaystyle H}
J
=
(
1
+
u
2
+
v
2
)
4
/
81
,
{\displaystyle J=(1+u^{2}+v^{2})^{4}/81,}
K
=
−
(
4
/
9
)
/
J
,
{\displaystyle K=-(4/9)/J,}
H
=
0.
{\displaystyle H=0.}
Полная кривизна равна
−
4
π
{\displaystyle -4\pi }
Полная минимальная поверхность в
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
−
4
π
{\displaystyle -4\pi }
катеноидом , либо поверхностью Эннепера. Вариации и обобщения Допускает обобщение с симметриями вращения более высокого порядка с помощью параметризации Вейерштрасса — Эннепера
f
(
z
)
=
1
,
g
(
z
)
=
z
k
{\displaystyle f(z)=1,g(z)=z^{k}}
k
>
1
{\displaystyle k>1}
Внешние ссылки
Эта страница в последний раз была отредактирована 21 февраля 2022 в 05:25.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Эта страница в последний раз была отредактирована 21 февраля 2022 в 05:25.