Две пересекающиеся плоскости
Пло́скость — одно из фундаментальных понятий в геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. В тесной связи с плоскостью принято рассматривать принадлежащие ей точки и прямые; они также, как правило, вводятся как неопределяемые понятия, свойства которых задаются аксиоматически[1].
Некоторые характеристические свойства плоскости
- Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;
- Две различные плоскости либо являются параллельными, либо пересекаются по прямой.
- Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо содержится в плоскости.
- Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.
- Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.
Плоскость и два её нормальных вектора: n1 и n2
Уравнения плоскости
Впервые встречается у А. К. Клеро (1731).
Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г. Ламе (1816—1818).
Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).
Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.
- Общее уравнение (полное) плоскости

где
и
— постоянные, причём
и
одновременно не равны нулю; в векторной форме:

где
— радиус-вектор точки
, вектор
перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора
:



Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При
плоскость проходит через начало координат, при
(или
,
) плоскость параллельна оси
(соответственно
или
). При
(
, или
) плоскость параллельна плоскости
(соответственно
или
).
- Уравнение плоскости в отрезках:

где
,
,
— отрезки, отсекаемые плоскостью на осях
и
.
- Уравнение плоскости, проходящей через точку
,перпендикулярной вектору нормали
:

в векторной форме:

- Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
, не лежащие на одной прямой:

(смешанное произведение векторов), иначе

- Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

в векторной форме:

где
- единичный вектор,
— расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

(знаки
и
противоположны).
Определение по точке и вектору нормали
В трёхмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.
Допустим,
является радиусом-вектором точки
, заданной на плоскости, и допустим, что n — это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка
с радиусом-вектором r находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от
к
, перпендикулярен n.
Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек r таких, что:
(Здесь точка означает скалярное произведение, а не умножение.)
Развернув выражение, мы получим:

что является знакомым нам уравнением плоскости.
Например:
Дано: точка на плоскости
и вектор нормали
.
Уравнение плоскости записывается так:
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
- Отклонение точки
от плоскости заданной нормированным уравнением 
,если
и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае
. Расстояние от точки до плоскости равно 
- Расстояние
от точки
, до плоскости, заданной уравнением
, вычисляется по формуле:
Расстояние между параллельными плоскостями
- Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями
и
:
- Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями
и
:
Типы взаимного расположения трёх или менее плоскостей. В частности, 4 тип — пересечение двух плоскостей, 11 тип — плоскость E3 проходит через линию пересечения плоскостей E1 и E2, 12 тип — пересечение трёх плоскостей в точке
Связанные понятия
- Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то

Если в векторной форме, то

или
(Векторное произведение)
- Плоскости перпендикулярны, если
или
. (Скалярное произведение)
- Пучок плоскостей — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид[2]:222:

- где
и
— любые числа, не равные одновременно нулю. Уравнение самой этой линии можно найти из уравнения пучка, подставляя α=1, β=0 и α=0, β=1.
- Связка плоскостей — все плоскости, проходящие через точку пересечения трёх плоскостей[2]:224. Уравнение связки плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через точку пересечения трёх плоскостей, имеет вид:

- где
,
и
— любые числа, не равные одновременно нулю. Саму эту точку можно найти из уравнения связки, подставляя α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 и α=0, β=0, γ=1 и решая получившуюся систему уравнений.
Вариации и обобщения
Плоскости в неевклидовом пространстве
Метрика плоскости не обязана быть евклидовой. В зависимости от введенных отношений инцидентности точек и прямых, различают проективные, аффинные, гиперболические и эллиптические плоскости[1].
Многомерные плоскости
Пусть дано n-мерное аффинное-конечномерное пространство
, над полем действительных чисел. В нём выбрана прямоугольная система координат
. m-плоскостью называется множество точек
, радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению
— матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости,
— вектор переменных,
— радиус-вектор одной из точек плоскости.
Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный:
— векторное уравнение m-плоскости.
Вектора
образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости
называются параллельными, если их направляющие пространства совпадают и
.
(n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется гиперплоскостью или просто плоскостью. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть
— нормальный вектор плоскости,
— вектор переменных,
— радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:
— общее уравнение плоскости.
Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так:
, или:
.
Углом между плоскостями называется наименьший угол между их нормальными векторами.
Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит прямая. Её векторное уравнение имеет вид:
. В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.
Гиперплоскость в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости.
См. также
Примечания
Литература
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: Физматлит, 2002. — 240 с.
- Плоскость // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 318—319.
Ссылки
| |
---|
В библиографических каталогах | |
---|
Эта страница в последний раз была отредактирована 2 февраля 2023 в 10:09.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.