Петля в топологическом пространстве X — это непрерывное отображение f единичного отрезка I = [0,1] в X, такое что f(0) = f(1). Другими словами, это путь, начальная точка которого совпадает с конечной[1].
Петлю можно также рассматривать как непрерывное отображение f единичной окружности S1 в X, поскольку S1 можно считать факторпространством I при отождествлении 0 с 1.
Пусть X — топологическое пространство, x0 ∈X. Непрерывное отображение l: S1 → X, такое что l(1) = x0, называется круговой петлёй в x0[2]. Каждой круговой петле в точке x0 можно сопоставить петлю пространства X в той же точке, взяв композицию l с отображением I →S1, заданным формулой t →e2πit. Всякая петля может быть получена из круговой петли таким образом.
Круговые петли называются гомотопными (или эквивалентными), если они {1}-гомотопны (то есть если гомотопия между ними является связанной в точке 1 ∈S1). Соответствующие классы эквивалентности называются гомотопическими классами петель.
Непустое топологическое пространство называется односвязным, если оно линейно связно и всякая петля в нём гомотопна постоянной петле[2].
Множество гомотопических классов петель в точке образует группу с операцией композиции путей. Эта группа называется фундаментальной группой пространства X в отмеченной точке x0.
Множество всех петель в X образует пространство, называемое пространством петель пространства X[1].
См. также
- Свободная петля
- Группа петель
- Пространство петель
- Алгебра петель
- Фундаментальная группа
- Квазигруппа
Примечания
- ↑ 1 2 Adams, 1978, с. 3.
- ↑ 1 2 Виро, Иванов, Нецветаев, Харламов, 2010, с. 232-234.
Литература
- John Frank Adams. Infinite Loop Spaces. — Princeton University Press, 1978. — Т. 90. — (Annals of mathematics studies). — ISBN 9780691082066.
- О.Я. Виро, О.А. Иванов, Н.Ю. Нецветаев, В.М. Харламов. Элементарная топология. — М.: МЦНМО, 2010. — ISBN 978-5-94057-587-0.
Эта страница в последний раз была отредактирована 8 июля 2015 в 07:10.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.