Параллелепипед

Параллелепи́пед (др.-греч. παραλληλ-επίπεδον^[1] от др.-греч. παρ-άλληλος — «параллельный» и др.-греч. ἐπί-πεδον — «плоскость») — четырёхугольная призма, все грани которой являются параллелограммами.

Типы параллелепипеда

Различается несколько типов параллелепипедов:

• Наклонный — боковые грани не перпендикулярны основанию.
• Прямой — боковые грани перпендикулярны основанию.
• Прямоугольный — все грани являются прямоугольниками.
• Ромбоэдр — все грани являются равными ромбами.
• Куб — все грани являются квадратами.

Основные элементы

• Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются «противоположными гранями»; например, грань AA₁D₁D противоположна грани BB₁C₁C
• Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются «смежными гранями»; например, грань AA₁D₁D смежна грани DD₁C₁C (имеется общее ребро DD₁)
• Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются «противоположными вершинами»; например, вершина A противоположна вершине C₁ (а вершина A не противоположна вершине C, поскольку они принадлежат одной грани ABCD)
• Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется «диагональю параллелепипеда»; например отрезок AC₁
• Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют «измерениями прямоугольного параллелепипеда»; например длины рёбер AD, DC и DD₁ — имеют общую вершину D и являются измерениями прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁

Свойства

• Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
• Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
• Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
• Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Основные формулы

Прямой параллелепипед

Площадь боковой поверхности S_б = Р_о⋅h, где Р_о — периметр основания, h — высота.

Площадь полной поверхности S_п = S_б + 2S_о, где S_о — площадь основания.

Объём V = S_о⋅h.

Прямоугольный параллелепипед

Площадь боковой поверхности S_б = 2c(a + b), где a, b — стороны основания, c — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда.

Площадь полной поверхности S_п = 2(ab + bc + ac).

Объём V = abc, где a, b, c — измерения прямоугольного параллелепипеда.

Куб

Площадь поверхности ${\displaystyle S=6a^{2}}$.

Объём ${\displaystyle V=a^{3}}$, где ${\displaystyle a}$ — ребро куба.

Произвольный параллелепипед

Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде часто определяются с помощью векторной алгебры. Объём параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения трёх векторов, определяемых тремя сторонами параллелепипеда, исходящими из одной вершины. Соотношение между длинами сторон параллелепипеда и углами между ними даёт утверждение, что определитель Грама указанных трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения^[2].

Если координаты четырёх вершин параллелепипеда, не принадлежащих одной грани, имеют целочисленные координаты, то объём этого параллелепипеда есть целое число.

В математическом анализе

В математическом анализе под n-мерным прямоугольным параллелепипедом ${\displaystyle B}$ понимают множество точек ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ вида ${\displaystyle B=\{x|a_{1}\leqslant x_{1}\leqslant b_{1},\ldots ,a_{n}\leqslant x_{n}\leqslant b_{n}\}}$

Сечение параллелепипеда плоскостью

В зависимости от расположения секущей плоскости и параллелепипеда сечение параллелепипеда может быть треугольником, четырехугольником, пятиугольником и шестиугольником.

См. также

• Параллелепипед Эйлера
• Параллелепипед Френеля

Примечания

Ссылки

	В Викисловаре есть статья «параллелепипед»

• Прямоугольный параллелепипед Архивная копия от 21 февраля 2020 на Wayback Machine

Эта страница в последний раз была отредактирована 5 января 2024 в 09:20.