Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Однородная система координат

Из Википедии — свободной энциклопедии

Однородные координатысистема координат, используемая в проективной геометрии, подобно тому, как декартовы координаты используются в евклидовой геометрии.

Однородные координаты обладают тем свойством, что определяемый ими объект не меняется при умножении всех координат на одно и то же ненулевое число. Из-за этого количество координат, необходимое для представления точек, всегда на одну больше, чем размерность пространства, в котором эти координаты используются. Например, для представления точки на прямой в одномерном пространстве необходимы 2 координаты и 3 координаты для представления точки на плоскости в двумерном пространстве. В однородных координатах возможно представить даже точки, находящиеся в бесконечности.

Введены Плюккером в качестве аналитического подхода к принципу двойственности Жергонна — Понселе.

Проективная геометрия

Проективная плоскость обычно определяется как множество прямых в , проходящих через начало координат. Любая такая прямая однозначно определяется точкой, не совпадающей с началом координат . Пусть данная прямая проходит через точку с координатами , тогда однородные координаты соответствующей точки на проективной плоскости — это тройка чисел , определённая с точностью до пропорциональности и такая, что все три координаты одновременно не могут быть равны нулю[1]. Например,

От однородных координат к аффинным можно перейти следующим образом: в трёхмерном пространстве можно провести плоскость, не проходящую через начало координат; тогда проходящая через начало координат прямая либо параллельна этой плоскости (в этом случае точка называется «бесконечно удалённой»), либо пересекает её в единственной точке, тогда ей можно сопоставить координаты этой точки на плоскости. Например, в пространстве с координатами проведём плоскость . Тогда точке с однородными координатами , если , соответствует точка на плоскости с координатами Обратно, точка с аффинными координатами в однородных координатах запишется как

Прямые на проективной плоскости — это плоскости в трёхмерном пространстве, проходящие через начало координат. Такую плоскость можно задать уравнением . Нетрудно заметить, что при умножении на одно и то же число плоскость, задаваемая уравнением, не изменится. Это значит, что каждой плоскости соответствуют однородные координаты . Точке, записанной в однородных координатах, можно сопоставить прямую, которая в однородных координатах записывается так же. Таким образом, прямые на проективной плоскости образуют «вторую проективную плоскость», в этом и заключается принцип проективной двойственности.

Вычислительная геометрия

В вычислительной геометрии однородные координаты применяются в вычислениях операций на евклидовой плоскости. Плоскость Евклида временно дополняется до проективной, к декартовым координатам точек добавляется однородная координата 1, затем производятся операции, затем в самом конце производится деление на однородную координату, чтобы получить декартовы координаты, а бесконечно удалённые точки обрабатываются особо. Такой подход даёт возможность быстро и безошибочно закодировать операции с объектами на плоскости. Прямая, проходящая через две точки, и точка на пересечении двух прямых, — обе операции кодируются, используя векторное произведение. Также нередко расширение евклидовой плоскости до проективной позволяет избежать рассмотрения частных случаев в промежуточных построениях, например, пересекающиеся или параллельные прямые, и провести анализ только в самом конце.

Однородные целочисленные координаты обобщают рациональные числа. Третья однородная координата служит общим знаменателем первым двум координатам, таким образом все вычисления могут производятся без погрешностей (в длинной арифметике).

Примеры

Источники

  1. Прасолов В. В., Тихомиров В. Н. Геометрия. — М.: МЦНМО, 2007. ISBN 978-5-94057-267-1 (Книги В.В.Прасолова)
Эта страница в последний раз была отредактирована 4 июля 2020 в 21:02.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).