Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Альтернативы
Недавние
Show all languages
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Если A отображает X на Y, то A−1 отображает Y на X
Если A отображает X на Y, то A−1 отображает Y на X

Обратный оператор к оператору  — оператор, который каждому из множества значений оператора ставит в соответствие единственный элемент из области определения оператора , являющийся решением уравнения . Если оператор имеет обратный, то есть уравнение имеет единственное решение при любом из , то называется обратимым. Обратный оператор обозначается [1].

Определение и условия существования

Другое определение: оператор называется обратным к оператору , если , где  — единичный оператор. Если выполняется только соотношение или только то оператор называется левым обратным или правым обратным соответственно. Если оператор имеет левый обратный и правый обратный, то они равны между собой, а оператор является обратимым[2]. Если обратный оператор существует, он определяется единственным образом[3].

Оператор обратим, если он отображает на взаимно однозначно, то есть при различных принимает различные значения .[4] Если оператор  — линейный, то для существования обратного оператора достаточно, чтобы выполнялось только при [5].

Линейный оператор (даже ограниченный) может иметь обратный, определённый не на всём пространстве. Например, в пространстве  линейный оператор

имеет обратный, который определен для векторов с первой координатой равной нулю: [5].

Свойства

  • [6]
  • [3]
  • Оператор , обратный к линейному оператору, также линеен.[1]
  • ,  — сопряжённый оператор[7].

Теоремы об обратном операторе

Теорема Банаха

Пусть  — линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий банахово пространство на банахово пространство . Тогда обратный оператор ограничен.

Теорема Банаха является одним из основных принципов линейного анализа[8]. Из неё следует теорема об открытом отображении: линейное непрерывное отображение банахова пространства на (всё) банахово пространство открыто[9].

Достаточные условия существования обратного оператора

где  — некоторая константа. Тогда существует обратный ограниченный линейный оператор [10].

  • Пусть  — линейный ограниченный обратимый оператор, действующий из банахова пространства в банахово пространство и  — линейный ограниченный оператор из в такой, что . Тогда оператор имеет ограниченный обратный, причём
[11][12].
[13].

Примеры

Преобразование Фурье

можно рассматривать как линейный ограниченный оператор, действующим из пространства  в себя. Обратным оператором для него является обратное преобразование Фурье

[14].

Операторы интегрирования и дифференцирования

Для оператора интегрирования

действующего в пространстве непрерывных функций , обратным будет оператор дифференцирования:

определённый на линейном многообразии непрерывно дифференцируемых функций, таких что [15].

Оператор Штурма-Лиувилля

Для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля определённого на линейном многообразии дважды непрерывно дифференцируемых функций таких, что , обратным оператором является интегральный оператор

где  — функция Грина.  — линейный ограниченный оператор в [15].

Интегральный оператор

Пусть

— интегральный оператор в пространстве непрерывных функций . При достаточно малых значениях параметра оператор (где  — единичный оператор) имеет ограниченный обратный

,

где  — резольвента ядра . Зная резольвенту, можно найти решение интегрального уравнения

при любом свободном члене [16].

Обратный оператор в конечномерном пространстве

Оператор в конечномерном пространстве обратим тогда и только тогда, когда его ранг совпадает с размерностью пространства. Иначе говоря, определитель его матрицы отличен от нуля. Обратному оператору отвечает обратная матрица[17].

См. также

Примечания

  1. 1 2 Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 225.
  2. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 128.
  3. 1 2 Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, с. 168.
  4. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 351.
  5. 1 2 Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, с. 319.
  6. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 154.
  7. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 207.
  8. Хелемский А. Я. Линейный оператор // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3. — 592 с. — 150 000 экз.
  9. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, глава IV, §5, п. 4.
  10. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 155.
  11. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 157.
  12. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 229.
  13. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 230.
  14. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, глава VIII.
  15. 1 2 Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 161.
  16. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 163.
  17. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. Учеб. для вузов. — 5-e изд.. — М.: Физматлит, 2002. — 320 с. — ISBN 5-9221-0129-3.

Литература

Эта страница в последний раз была отредактирована 4 января 2022 в 19:18.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).