Невырожденная матрица

Невырожденная матрица (иначе неособенная матрица) ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной.

Для квадратной матрицы ${\displaystyle M}$ с элементами из некоторого поля ${\displaystyle K}$ невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:

• ${\displaystyle M}$ обратима, то есть существует обратная матрица^[1];
• строки (столбцы) матрицы ${\displaystyle M}$ линейно независимы^[2];
• ранг матрицы ${\displaystyle M}$ равен её размерности^[3].

Совокупность всех невырожденных матриц порядка ${\displaystyle n}$ образует группу, которая называется полная линейная группа. Роль групповой операции в ней играет обычное умножение матриц. Полная линейная группа обычно обозначается как ${\displaystyle GL(n)}$^[4]. Если требуется явно указать, какому полю ${\displaystyle K}$ должны принадлежать элементы матрицы, то пишут ${\displaystyle GL(n,K)}$^[5]. Так, если элементами являются действительные числа, полная линейная группа порядка ${\displaystyle n}$ обозначается ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$, а если комплексные числа, то ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$.

Матрица порядка ${\displaystyle n}$ заведомо невырождена, если это^[6]:

• диагональная матрица с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу ${\displaystyle D(n,K)}$);
• верхняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу ${\displaystyle T(n,K)}$);
• нижняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами;
• унитреугольная матрица (т.е. верхние треугольные матрицы у которых диагональные элементы равны 1; такие матрицы образуют группу ${\displaystyle UT(n,K)}$).
• матрица ${\displaystyle M}$ является результатом взятия матричной экспоненты от матрицы ${\displaystyle A\in M_{n}(\mathbb {C} )}$, то есть ${\displaystyle M=e^{A}}$

Примечания

Литература

• Кострикин, А. И. Введение в алгебру (рус.). — М.: Наука, 1977. — 496 с.
• Кострикин, А. И., Манин, Ю. И. Линейная алгебра и геометрия (рус.). — М.: Наука, 1986. — 304 с.
• Рохлин, В. А., Фукс, Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы (рус.). — М.: Наука, 1977.
• Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц (рус.). — 2-е изд., доп.. — М.: Наука, 1966. — 576 с.

Эта страница в последний раз была отредактирована 17 декабря 2023 в 06:18.