Область значений функции

Область значений (или множество значений) функции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция^[1][2][3].

Определение

Пусть на множестве ${\displaystyle X}$ задана функция ${\displaystyle f}$, которая отображает множество ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$, то есть: ${\displaystyle f:X\to Y}$. Тогда областью (или множеством) значений функции ${\displaystyle f}$ называется совокупность всех её значений, которая является подмножеством множества ${\displaystyle Y}$ и обозначается ${\displaystyle f(X)}$, ${\displaystyle E(f)}$, ${\displaystyle R(f)}$ или ${\displaystyle \mathrm {ran} \,f}$ (от англ. range):

${\displaystyle f(X)=\{y\in Y|\,y=f(x),\,x\in X\}}$.

Способы нахождения областей значений некоторых функций

• последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
• метод оценок;
• использование свойств непрерывности и монотонности функции;
• использование производной;
• использование наибольшего и наименьшего значений функции;
• графический метод;
• метод введения параметра;
• метод обратной функции.

Терминология

В некоторых источниках различаются понятия области значений и множества значений функции. При этом областью значений функции называется её кодомен, то есть множество ${\displaystyle Y}$ в обозначении функции ${\displaystyle f:X\to Y}$^[4], а множеством значений функции называется совокупность всех значений ${\displaystyle f(X)}$ функции ${\displaystyle f}$.

Множество значений ${\displaystyle f(X)}$ называется также образом множества ${\displaystyle X}$ при отображении ${\displaystyle f}$.

Иногда множество значений функции называют областью изменения функции^[3].

См. также

• Область определения функции

Примечания

Литература

• Функция. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
• Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
• <span class="nowrap">И. А. Лавров</span>, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд.. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13 — 21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
• А. Н.  Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
• <span class="nowrap">Дж. Л. Келли</span>. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1981. — С. 19 — 27. — 423 с.
• В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23 — 36. — 544 с.
• А. Н. Колмогоров. Что такое функция // «Квант» : науч.-поп. физ.-мат. журн. — М.: «Наука», 1970. — № 1. — С. 27-36. — ISSN 0130-2221.

Эта страница в последний раз была отредактирована 8 марта 2023 в 10:50.