Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Норма матрицы — норма в линейном пространстве матриц, как правило некоторым образом связанная с соответствующей векторной нормой (согласованная[⇨] или подчиненная[⇨]).

Определение

Пусть K — основное поле (обычно K = R или K = C) и  — линейное пространство всех матриц с m строками и n столбцами, состоящих из элементов K. На пространстве матриц задана норма, если каждой матрице ставится в соответствие неотрицательное действительное число , называемое ее нормой, так, что

  • , если , и , если .
  • .
  • [1].

В случае квадратных матриц (то есть m = n), матрицы можно перемножать не выходя из пространства, и потому нормы в этих пространствах обычно также удовлетворяют свойству субмультипликативности:

  • для всех матриц A и B в .

Субмультипликативность может выполняться также и для норм неквадратных матриц, но определённых сразу для нескольких нужных размеров. Именно, если A — матрица  × m, и B — матрица m × n, то A B — матрица  × n.

Операторные нормы

Важным классом матричных норм являются операторные нормы, также именуемые подчинёнными или индуцированными. Операторная норма однозначно строится по двум нормам, определённым в и , исходя из того, что всякая матрица m × n представляется линейным оператором из в . Конкретно,

[2]

При условии согласованного задания норм на пространствах векторов, такая норма является субмультипликативной (см. выше).

Примеры операторных норм

  • Матричная норма , подчинённая векторной норме .
  • Матричная норма , подчинённая векторной норме .
  • Спектральная норма , подчиненная векторной норме .

Свойства спектральной нормы:

  1. Спектральная норма оператора равна максимальному сингулярному числу этого оператора.
  2. Спектральная норма нормального оператора равна абсолютному значению максимального по модулю собственного значения этого оператора.
  3. Спектральная норма не изменяется при умножении матрицы на ортогональную (унитарную) матрицу.

Неоператорные нормы матриц

Существуют нормы матриц, не являющиеся операторными. Понятие неоператорных норм матриц ввел Ю. И. Любич [3] и исследовал Г. Р. Белицкий.

Пример неоператорной нормы

Например, рассмотрим две различные операторные нормы и , например строчную и столбцовую нормы. Образуем новую норму . Новая норма обладает кольцевым свойством , сохраняет единицу и не является операторной[4].

Примеры норм

Норма Lp,q

Пусть — вектор из столбцов матрицы Норма по определению равна сумме евклидовых норм столбцов матрицы:

Норма может быть обобщена до нормы

Векторная -норма

Можно рассматривать матрицу как вектор размера и использовать стандартные векторные нормы. Например, из нормы при получается векторная p-норма:

Эта норма отличается от индуцированной p-нормы и от p-нормы Шаттена (см. ниже), хотя используется одно и то же обозначение.

Норма Фробениуса, или евклидова норма (для евклидового пространства) представляет собой частный случай p-нормы для p = 2: .

Норма Фробениуса легко вычисляется (по сравнению, например, со спектральной нормой). Обладает следующими свойствами:

  • Субмультипликативность: , так как .
  • , где  — след матрицы ,  — эрмитово-сопряжённая матрица.
  • , где  — сингулярные числа матрицы .
  • , где — спектральная норма.
  • не изменяется при умножении матрицы слева или справа на ортогональные (унитарные) матрицы[5].

Максимум модуля

Норма максимума модуля — другой частный случай p-нормы для p = ∞.

Норма Шаттена

Нормы Шаттена возникают при применении -нормы к вектору сингулярных значений матрицы. Если обозначить через -ое сингулярное число матрицы размера , то -норма Шаттена определяется как

Нормы Шаттена обозначаются так же, как индуцированная и векторная -нормы, но не совпадают с ними.

Для любого норма Шаттена субмультипликативна и унитарно инвариантна, то есть и для любых матриц и и любых унитарных матриц и .

При норма Шаттена совпадает с нормой Фробениуса, при — со спектральной нормой, а при — с ядерной нормой (известной также как следовая норма и -норма Ки Фана), которая определяется как

Ядерная норма является выпуклой оболочкой функции ранга на множестве матриц с единичной спектральной нормой, поэтому она часто используется в задачах оптимизации для нахождения матриц с малым рангом[6].

Согласованность матричной и векторных норм

Матричная норма на называется согласованной с нормами на и на , если:

для любых . Операторная норма по построению является согласованной с исходной векторной нормой.

Примеры согласованных, но не подчиненных матричных норм:

  • Евклидова норма согласована с векторной нормой [5].
  • Норма согласована с векторной нормой [7].

Эквивалентность норм

Все нормы в пространстве эквивалентны, то есть для любых двух норм и и для любой матрицы верно двойное неравенство:

где константы и не зависят от матрицы .

Для справедливы неравенства:

  • ,
  • ,
  • ,
  • ,

где , и  — операторные нормы[8].

Применение

Матричные нормы часто используются при анализе вычислительных методов линейной алгебры. Например, программа решения систем линейных алгебраических уравнений может давать неточный результат, если матрица коэффициентов плохо обусловленная («почти вырожденная»). Для количественной характеристики близости к вырожденности нужно уметь измерять расстояние в пространстве матриц. Такую возможность дают матричные нормы[9].

См. также

Примечания

  1. Гантмахер, 1988, с. 410.
  2. Прасолов, 1996, с. 210.
  3. Любич Ю. И. Об операторных нормах матриц // УМН. — 1963. — N. 18. Вып. 4(112) — С. 161—164. — URL: http://mi.mathnet.ru/rus/umn/v18/i4/p161
  4. Белицкий, 1984, с. 99.
  5. 1 2 Ильин, Ким, 1998, с. 311.
  6. Fazel, M., Hindi, H., Boyd, S. P. A rank minimization heuristic with application to minimum order system approximation (англ.) // Proceedings of the 2001 American Control Conference. — 2001. — Vol. 6. — P. 4734—4739. — doi:10.1109/ACC.2001.945730.
  7. Беллман, 1969, с. 196.
  8. Голуб, Ван Лоун, 1999, с. 63.
  9. Голуб, Ван Лоун, 1999, с. 61.

Литература

  •  Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. — 320 с. — ISBN 5-211-03814-2.
  •  Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988.
  •  Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Наука, 1969.
  • Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.
  • Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ.. — М.: Мир, 1999. — 548 с. — ISBN 5-03-002406-9.
  • Белицкий Г. Р., Любич Ю. И. Нормы матриц и их приложения. — Киев: Наукова думка, 1984. — 160 с.

Ссылки

Эта страница в последний раз была отредактирована 15 марта 2022 в 08:52.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).