Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Нечёткое множество (иногда размытое[1], туманное[2], пушистое[3]) — понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 году в статье «Fuzzy Sets» в журнале Information and Control[англ.][4], в котором расширил классическое понятие множества, допустив, что характеристическая функция множества (названная Заде функцией принадлежности для нечёткого множества) может принимать любые значения в интервале , а не только значения или . Является базовым понятием нечёткой логики.

Устаревшее название: расплывчатое множество[5][6].

Определение

Под нечётким множеством понимается совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов универсального множества и соответствующих степеней принадлежности :

,

причём  — функция принадлежности (обобщение понятия характеристической функции обычных чётких множеств), указывающая, в какой степени (мере) элемент принадлежит нечёткому множеству . Функция принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве . Множество называют множеством принадлежностей, часто в качестве выбирается отрезок . Если (то есть состоит только из двух элементов), то нечёткое множество может рассматриваться как обычное чёткое множество.

Основные определения

Пусть нечёткое множество с элементами из универсального множества и множеством принадлежностей . Тогда:

  • носителем (суппортом) нечёткого множества называется множество ;
  • величина называется высотой нечёткого множества . Нечёткое множество нормально, если его высота равна . Если высота строго меньше , нечёткое множество называется субнормальным;
  • нечёткое множество пусто, если . Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле
    ;
  • нечёткое множество унимодально, если только на одном из ;
  • элементы , для которых , называются точками перехода нечёткого множества .

Сравнение нечётких множеств

Пусть и — нечёткие множества, заданные на универсальном множестве .

  • содержится в , если для любого элемента из функция его принадлежности множеству будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству :
    .
  • В случае, если условие выполняется не для всех , говорят о степени включения нечёткого множества в , которое определяется так:
    , где .
  • Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге:
    .
  • В случае, если значения функций принадлежности и почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств и , например, в виде
    , где .

Свойства нечётких множеств

-срезом нечёткого множества , обозначаемым как , называется следующее чёткое множество:

,

то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):

Для -среза нечёткого множества истинна импликация:

.

Нечёткое множество является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие:

для любых и .

Нечёткое множество является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие:

для любых и .

Операции над нечёткими множествами

При множестве принадлежностей

  • Пересечением нечётких множеств и называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности, являющейся минимумом функций принадлежности и :
    .
  • Произведением нечётких множеств и называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:
    .
  • Объединением нечётких множеств и называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности, являющейся максимумом функций принадлежности и :
    .
  • Суммой нечётких множеств и называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:
    .
  • Отрицанием множества называется множество с функцией принадлежности:
    для каждого .

Альтернативное представление операций над нечёткими множествами

Пересечение

В общем виде операция пересечения нечётких множеств определяется следующим образом:

,

где функция  — это так называемая T-норма. Ниже приведены частные примеры реализации T-нормы:

  • , для

Объединение

В общем случае операция объединения нечётких множеств определяется следующим образом:

,

где функция  — T-конорма. Ниже приведены частные примеры реализации S-нормы:

  • , для

Связь с теорией вероятностей

Теория нечётких множеств в определённом смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности можно рассматривать как вероятность накрытия элемента некоторым случайным множеством .

Однако при практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом к аппарату теории вероятностей и прикладной статистики. Например, в теории управления существует направление, в котором для синтеза экспертных регуляторов вместо методов теории вероятностей используются нечёткие множества (нечёткие регуляторы).

Примеры

Пусть:

  • множество
  • множество принадлежностей
  • и  — два нечётких подмножества

Результаты основных операций:

  • пересечение:
  • объединение:

Примечания

  1. Bulletin of the Academy of Sciences of the Georgian SSR. — Академия, 1974. — С. 157. — 786 с. Архивировано 4 апреля 2017 года.
  2. Козлова Наталья Николаевна. Цветовая картина мира в языке // Ученые записки Забайкальского государственного университета. Серия: Филология, история, востоковедение. — 2010. — Вып. 3. — ISSN 2308-8753. Архивировано 4 апреля 2017 года.
  3. Химия и жизнь, XXI век. — Компания "Химия и жизнь", 2008. — С. 37. — 472 с. Архивировано 4 апреля 2017 года.
  4. Лотфи А. Заде Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений (пер. с анг. В. А. Горелик, С. А. Орловский, Н. И. Ринго) // Математика сегодня. — М., Знание, 1974. — с. 5-48
  5. Леоненков А. В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 736 с.: ил. ISBN 5-94157-087-2
  6. A. M. Shirokov. Основы теории комплектования. — Наука и техника, 1987. — С. 66. — 190 с. Архивировано 18 апреля 2021 года.

Литература

  • Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. — М.: Мир, 1976. — 166 с.
  • Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. — М.: Радио и связь, 1982. — 432 с.
  • Нечеткие множества и теория возможностей: Последние достижения / Р. Р. Ягер. — М.: Радио и связь, 1986.
  • Zadeh L. A. Fuzzy sets // Information and Control. — 1965. — Т. 8, № 3. — P. 338-353.
  • Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. — М.: Наука, 1981. — 208 с. — 7600 экз.
Эта страница в последний раз была отредактирована 2 декабря 2023 в 12:29.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).