Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Несобственный интеграл

Из Википедии — свободной энциклопедии

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется по крайней мере одно из следующих условий.

  • Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным промежутком .
  • Функция является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования.

Если интервал конечный и функция интегрируема по Риману, то значение несобственного интеграла совпадает со значением определённого интеграла.

Несобственные интегралы I рода

Несобственный интеграл первого рода
Несобственный интеграл первого рода

Пусть определена и непрерывна на интервале и . Тогда:

  1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся.
  2. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к «», «», или просто расходящимся.

Пусть определена и непрерывна на множестве от и . Тогда:

  1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся.
  2. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к «», «», или просто расходящимся.

Если функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

, где с — произвольное число.

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода

Несобственный интеграл первого рода выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Примеры

Несобственные интегралы II рода

Несобственный интеграл Римана второго рода
Несобственный интеграл Римана второго рода

Пусть определена на , терпит бесконечный разрыв в точке x = a и . Тогда:

  1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
  2. Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к «», «», или просто расходящимся.

Пусть определена на , терпит бесконечный разрыв при x = b и . Тогда:

  1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
  2. Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к «», «», или просто расходящимся.

Если функция терпит разрыв во внутренней точке отрезка , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

Геометрический смысл несобственных интегралов II рода

Несобственный интеграл второго рода выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции.

Пример

Отдельный случай

Пусть функция определена на всей числовой оси и имеет разрыв в точках .

Тогда можно найти несобственный интеграл

Критерий Коши

1. Пусть определена на множестве от и .

Тогда сходится

2. Пусть определена на и .

Тогда сходится

Абсолютная сходимость

Интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

Условная сходимость

Интеграл называется условно сходящимся, если сходится, а расходится.

См. также


Литература

Дмитрий Письменный. Конспект лекций по высшей математике, часть 1. — Айрис Пресс, 2007. — С. 233-237.

Эта страница в последний раз была отредактирована 25 апреля 2022 в 21:15.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).