Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.
Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.
Как перевоплотить Википедию
Хотите, чтобы Википедия всегда выглядела так профессионально и современно? Мы создали расширение для браузера. Оно совершенствует любую страницу энциклопедии, которую вы посетите, с помощью магических технологий WIKI 2.
Попробуйте — вы его можете удалить в любой момент.
Установить за 5 сек.
Да-да, но позже
4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца, хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского[2].
Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.
Энциклопедичный YouTube
1/5
Просмотров:
40 842
1 121
43 353
14 609
583
Неравенство Коши — Буняковского | Ботай со мной #049 | Борис Трушин |
Неравенство Коши или неравенство о средних
#240. Неравенства Йенсена, о средних, Коши-Буняковского, Гёльдера
Для двух случайных величин и неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
Способы доказательства
Существует лишь несколько сущностно различных подходов к доказательству неравенства. Однако, ввиду его универсальности, одни и те же приводящие к нему формальные операции можно описывать в разных терминах. Из-за этого некоторые авторы представляют неравенство как имеющее чрезвычайно много доказательств.[3]
Для удобства изложения в данном разделе, когда не указано иное, описываются доказательства только для пространства конечной размерности над , то есть для конечных последовательностей , .
Пусть . Раскрывая квадрат и делая замену , квадрат суммы можно разбить на блоки следующим образом:
где обозначения соответствуют . Из перестановочного неравенства для двух копий последовательности и перестановок
следует, что каждая из внутренних сумм не превышает .
Общий случай
Если все – целые, то, раскрывая произведения и применяя уже доказанный частный случай для получившихся слагаемых, получим
Делением обоих частей на целые числа можно получить то же неравенство для рациональных , а из непрерывности сложения и умножения следует и обобщение для произвольных вещественных . Это утверждение в точности соответствует неравенству Коши-Буняковского для последовательностей
.
Поэтому неравенство для произвольных , следует из возможности обратной замены
.
Вероятностный (через суммирование квадратов)
Идея (на примере дисперсии)
Самая известная реализация этого метода – рассмотрение дисперсии случайной величины. Очевидно, что если величина принимает неотрицательные значения, то её математическое ожидание также будет неотрицательно, поэтому
для любой случайной величины . Благодаря линейности математического ожидания из этого следует, что
Пусть все и . Для случайной величины , которая принимает значение с вероятностью , это неравенство означает, что
то есть
Отсюда неравенство Коши-Буняковского можно получить той же заменой переменных, что и в случае с применением перестановочного неравенства.
Интерпретация и альтернативные формы
После замены переменных математическое ожидание описанной выше величины будет иметь вид
Поэтому вероятностное доказательство, в сущности рассматривает сумму
Из очевидной (ввиду возведения скобки в квадрат) неотрицательности этой суммы выводится соотношение между слагаемыми, получающимися при раскрытии скобки – двое из трёх таких слагаемых сокращаются в одно (различаются лишь на константу) за счёт структуры формулы. Изменяя нормировку (деление на суммы) с помощью внесения множителей под скобки и домножения константы, легко увидеть, что такой подход аналогичен использованию более наглядной суммы
Неравенства с такими суммами, записанные без привязки к вероятностным определениям, остаются корректным и без условия из предыдущего раздела. В частности, для произвольного гильбертова пространства при можно рассмотреть неравенство
а при достаточно домножить на комплексное число вида чтобы свести всё к первому случаю.
Аналогичным способом можно использовать другую, симметричную, сумму, где после раскрытия скобки сокращаются два крайних слагаемых (полученные возведением в квадрат), а не крайнее с центральным:
Неравенство можно получить с помощью индукции, шагом которой для перехода от к -ому слагаемому будет применение того же неравенства для двух слагаемых. Предположение индукции для последовательностей , даёт неравенство
А из случая для последовательностей
,
легко видеть, что
Таким образом неравенство доказывается для произвольного индукцией с базой . Базу можно доказать любым из остальных способов (например, через неравенство ).[7] Также для существуют наглядные геометрические доказательства.[8][9]