Неравенство

Нера́венство в математике — отношение, связывающее два числа (или два иных математических объекта) с помощью одного из перечисленных ниже знаков^[1].

Строгие неравенства

• ${\displaystyle a<b}$ — означает, что ${\displaystyle a}$ меньше, чем ${\displaystyle b.}$
• ${\displaystyle a>b}$ — означает, что ${\displaystyle a}$ больше, чем ${\displaystyle b.}$

Неравенства ${\displaystyle a>b}$ и ${\displaystyle b<a}$ равносильны. Говорят, что знаки ${\displaystyle >}$ и ${\displaystyle <}$ противоположны; например, выражение «знак неравенства сменился на противоположный» означает, что ${\displaystyle <}$ заменено на ${\displaystyle >}$ или наоборот.

Нестрогие неравенства

• ${\displaystyle a\leqslant b}$ — означает, что ${\displaystyle a}$ меньше или равно ${\displaystyle b.}$
• ${\displaystyle a\geqslant b}$ — означает, что ${\displaystyle a}$ больше или равно ${\displaystyle b.}$

Русскоязычная традиция начертания знаков ⩽ и ⩾ соответствует международному стандарту ISO 80000-2. За рубежом иногда используются знаки ≤ и ≥ или ≦ и ≧. Про знаки ${\displaystyle \geqslant }$ и ${\displaystyle \leqslant }$ также говорят, что они противоположны.

Другие типы неравенств

• ${\displaystyle a\neq b}$ — означает, что ${\displaystyle a}$ не равно ${\displaystyle b}$.
• ${\displaystyle a\gg b}$ — означает, что величина ${\displaystyle a}$ намного больше, чем ${\displaystyle b.}$
• ${\displaystyle a\ll b}$ — означает, что величина ${\displaystyle a}$ намного меньше, чем ${\displaystyle b.}$

Далее в данной статье, если не оговорено иное, понятие неравенства относится к первым 4 типам.

В элементарной математике изучают числовые неравенства (рациональные, иррациональные, тригонометрические, логарифмические, показательные). В общей алгебре, анализе, геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы.

Связанные определения

Неравенства с одинаковыми знаками называются одноимёнными (иногда используется термин «одного смысла» или «одинакового смысла»).

Допускается двойное или даже многократное неравенство, объединяющее несколько неравенств в одно. Пример:

${\displaystyle a<b<c}$ — это краткая запись пары неравенств: ${\displaystyle a<b}$ и ${\displaystyle b<c.}$

Числовые неравенства

Числовые неравенства содержат вещественные числа (для комплексных чисел сравнение на больше-меньше не определено) и могут содержать также символы неизвестных ${\displaystyle (x,y,\dots ).}$ Числовые неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются (аналогично уравнениям) на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические неравенства, в свою очередь, подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. Например, неравенство ${\displaystyle 18x<414}$ — алгебраическое первой степени, неравенство ${\displaystyle 2x^{3}-7x+6>0}$ — алгебраическое третьей степени, неравенство ${\displaystyle 2^{x}>x+4}$ — трансцендентное^[2].

Свойства

Свойства числовых неравенств в некоторых отношениях близки к свойствам уравнений^[1]:

• К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.
• От обеих частей неравенства можно отнять одно и то же число. Следствие: как и для уравнений, любой член неравенства можно перенести в другую часть с противоположным знаком. Например, из ${\displaystyle a+b<c}$ следует, что ${\displaystyle a<c-b.}$
• Обе части неравенства можно умножить на одно и то же положительное число.
• Одноимённые неравенства можно складывать: если, например, ${\displaystyle a<b}$ и ${\displaystyle c<d,}$ то ${\displaystyle a+c<b+d.}$ Неравенства с противоположными знаками можно аналогично почленно вычитать.
• Если все четыре части двух неравенств положительны, то неравенства можно перемножить.
• Если обе части неравенства положительны, то их можно возвести в одну и ту же (натуральную) степень, а также логарифмировать с любым основанием (если основание логарифма меньше 1, то знак неравенства надо изменить на противоположный).

Другие свойства

• Транзитивность: если ${\displaystyle a<b}$ и ${\displaystyle b<c,}$ то ${\displaystyle a<c}$ и аналогично для прочих знаков.
• Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный: больше на меньше, больше или равно на меньше или равно и т. д.

Решение неравенств

Пусть даны функции ${\displaystyle f\left(x\right)}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)}$. Если требуется найти все числа ${\displaystyle \alpha }$ из области, являющейся пересечением областей существования этих функций, для каждого из которых выполняется неравенство ${\displaystyle f\left(\alpha \right)>g\left(\alpha \right)}$, то говорят, что требуется решить неравенство

${\displaystyle f\left(x\right)>g\left(x\right).}$

Если неравенство содержит символы неизвестных, то решение его означает выяснение вопроса, при каких значениях неизвестных неравенство выполняется. Примеры:

${\displaystyle x^{2}<4}$ выполняется при ${\displaystyle -2<x<2.}$

${\displaystyle x^{2}>4}$ выполняется, если ${\displaystyle x>2}$ или ${\displaystyle x<-2.}$

${\displaystyle x^{2}<-4}$ не выполняется никогда (решений нет).

${\displaystyle x^{2}>-4}$ выполняется при всех ${\displaystyle x}$ (тождество).

Внимание: если возвести в чётную степень неравенство, содержащее неизвестные, могут появиться «лишние» решения. Пример: если неравенство ${\displaystyle x>3}$ возвести в квадрат: ${\displaystyle x^{2}>9,}$ то появится ошибочное решение ${\displaystyle x<-3,}$ не удовлетворяющее исходному неравенству. Поэтому все полученные таким образом решения следует проверить подстановкой в исходное неравенство.

Неравенства первой степени

Неравенство первой степени имеет общий формат: ${\displaystyle ax>b}$ или ${\displaystyle ax<b,}$ где ${\displaystyle a\neq 0}$ (работа со знаками ${\displaystyle \geqslant }$ и ${\displaystyle \leqslant }$ аналогична). Чтобы его решить, разделите неравенство на ${\displaystyle a}$ и, если ${\displaystyle a<0,}$ измените знак неравенства на противоположный^[3]. Пример:

${\displaystyle 5x-11>8x+1.}$ Приведём подобные члены: ${\displaystyle -3x>12,}$ или ${\displaystyle x<-4.}$

Системы неравенств первой степени

Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство в отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.

Пример 1. Из системы ${\displaystyle {\begin{cases}4x-3>5x-5\\2x+4<8x\end{cases}}}$ получаем два решения: для первого неравенства ${\displaystyle x<2,}$ для второго: ${\displaystyle x>{2 \over 3}.}$ Соединяя их, получаем ответ: ${\displaystyle {2 \over 3}<x<2.}$

Пример 2. ${\displaystyle {\begin{cases}2x-3>3x-5\\2x+4>8x\end{cases}}}$ Решения: ${\displaystyle x<2}$ и ${\displaystyle x<{2 \over 3}.}$ Второе решение поглощает первое, так что ответ: ${\displaystyle x<{2 \over 3}.}$

Пример 3. ${\displaystyle {\begin{cases}2x-3<3x-5\\2x+4>8x\end{cases}}}$ Решения: ${\displaystyle x>2}$ и ${\displaystyle x<{2 \over 3},}$ они несовместимы, поэтому исходная система не имеет решений.

Неравенства второй степени

Общий вид неравенства второй степени (называемого также квадратным неравенством):

${\displaystyle x^{2}+px+q>0}$ или ${\displaystyle x^{2}+px+q<0.}$

Если квадратное уравнение ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ имеет вещественные корни ${\displaystyle x_{1},x_{2},}$ то неравенство можно привести к виду соответственно:

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})>0}$ или ${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})<0.}$

В первом случае ${\displaystyle x-x_{1}}$ и ${\displaystyle x-x_{2}}$ должны иметь одинаковые знаки, во втором — разные. Для окончательного ответа надо применить следующее простое правило^[4].

Если оказалось, что у уравнения ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ вещественных корней нет, то его левая часть сохраняет один и тот же знак при всех ${\displaystyle x.}$ Поэтому исходное неравенство второй степени либо является тождеством, либо не имеет решений (см. ниже примеры^[5]).

Пример 1. ${\displaystyle -2x^{2}+14x-20>0.}$ Разделив на ${\displaystyle -2,}$ приведём неравенство к виду: ${\displaystyle x^{2}-7x+10<0.}$ Решив квадратное уравнение ${\displaystyle x^{2}-7x+10=0,}$ получаем корни ${\displaystyle x_{1}=2;x_{2}=5,}$ поэтому исходное неравенство равносильно такому: ${\displaystyle (x-2)(x-5)<0.}$ Согласно приведенному выше правилу, ${\displaystyle 2<x<5,}$ что и является ответом.

Пример 2. ${\displaystyle -2x^{2}+14x-20<0.}$ Аналогично получаем, что ${\displaystyle x-2}$ и ${\displaystyle x-5}$ имеют одинаковые знаки, то есть, согласно правилу, ${\displaystyle x<2,}$ или ${\displaystyle x>5.}$

Пример 3. ${\displaystyle x^{2}+6x+15>0.}$ Уравнение ${\displaystyle x^{2}+6x+15=0}$ не имеет вещественных корней, поэтому левая часть его сохраняет знак при всех ${\displaystyle x.}$ При ${\displaystyle x=0}$ левая часть положительна, поэтому исходное неравенство есть тождество (верно при всех ${\displaystyle x}$).

Пример 4. ${\displaystyle x^{2}+6x+15<0.}$ Как и в предыдущем примере, здесь левая часть всегда положительна, поэтому неравенство не имеет решений.

Аналогично, разложением на множители, можно решать неравенства высших степеней. Другой способ — построить график левой части и определить, какие знаки она имеет в различных интервалах^[6].

Прочие неравенства

Существуют также дробно-рациональные, иррациональные, логарифмические и тригонометрические неравенства.

Некоторые известные неравенства

Ниже приведены практически полезные неравенства, тождественно выполняющиеся, если неизвестные попадают в указанные границы^[7].

• ${\displaystyle a+{1 \over a}\geqslant 2,}$ где ${\displaystyle a>0.}$ Равенство имеет место только при ${\displaystyle a=1.}$
• ${\displaystyle {\sqrt {ab}}\leqslant {a+b \over 2},}$ где ${\displaystyle a,b>0.}$ Смысл: среднее геометрическое двух чисел не превосходит их среднее арифметическое. Равенство имеет место только при ${\displaystyle a=b.}$
• Неравенство о средних
• Неравенство Бернулли:

${\displaystyle (1+x)^{n}\geqslant 1+nx,}$ где ${\displaystyle x>-1,n}$ — положительное число, большее 1

• Неравенство Коши — Буняковского.
• Неравенство Йенсена
• Неравенство треугольника:

${\displaystyle |a+b|\leqslant |a|+|b|}$

См. следствия этого неравенства в статье Абсолютная величина.

Знаки неравенства в языках программирования

Символ «не равно» в разных языках программирования записывается по-разному.

Коды знаков неравенств

Символ	Изображение	Юникод		Русское название	HTML			LaTeX
		Код	Название		Шестнадцатеричное	Десятичное	Мнемоника
<	${\displaystyle <}$	U+003C	Less-than sign	Меньше	<	<	<	<, \textless
>	${\displaystyle >}$	U+003E	Greater-than sign	Больше	>	>	>	>, \textgreater
⩽	${\displaystyle \leqslant }$	U+2A7D	Less-than or slanted equal to	Меньше или равно	⩽	⩽	нет	\leqslant
⩾	${\displaystyle \geqslant }$	U+2A7E	Greater-than or slanted equal to	Больше или равно	⩾	⩾	нет	\geqslant
≤	${\displaystyle \leq }$	U+2264	Less-than or equal to	Меньше или равно	≤	≤	≤	\le, \leq
≥	${\displaystyle \geq }$	U+2265	Greater-than or equal to	Больше или равно	≥	≥	≥	\ge, \geq
≪	${\displaystyle \ll }$	U+226A	Much less-than	Много меньше	≪	≪	нет	\ll
≫	${\displaystyle \gg }$	U+226B	Much greater-than	Много больше	≫	≫	нет	\gg

См. также

• Сравнение (программирование)

Примечания

Литература

• Беккенбах Э. Ф. Неравенства. — М.: Мир, 1965.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
  • Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 с.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Харди Г. Г., Литлвуд Д. И., Полиа Д. Неравенства. — М.: Иностранная литература, 1948.

Эта страница в последний раз была отредактирована 7 апреля 2024 в 11:51.