Линейный непрерывный оператор

Линейный непрерывный оператор $A:X\rightarrow Y$ , действующий из линейного топологического пространства X в линейное топологическое пространство Y — это линейное отображение из X в Y, обладающее свойством непрерывности.

Термин «линейный непрерывный оператор» обычно употребляют в случае, когда Y многомерно. Если Y одномерно, т.е. совпадает с самими полем ( $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ ), то принято использовать термин линейный непрерывный функционал^[1]. Множество всех линейных непрерывных операторов из X в Y обозначается $L(X,Y)$ .

В теории нормированных пространств линейные непрерывные операторы более известны как ограниченные линейные по нижеизложенной причине. Теория линейных непрерывных операторов играет важную роль в функциональном анализе, математической физике и вычислительной математике.

Свойства

Если X конечномерно, то любой линейный оператор непрерывен.
Непрерывность линейного оператора в нуле равносильна его непрерывности в любой другой точке (и, следовательно, во всём X).
Для нормированных пространств условия непрерывности и ограниченности (т.е. конечности операторной нормы) равносильны.^[2]. В общем случае из непрерывности линейного оператора следует ограниченность, но обратное верно не всегда.
Если X и Y — банаховы пространства, и образ оператора $A\in L(X,Y)$ совпадает с пространством Y, то существует обратный оператор $A^{-1}\in L(Y,X)$ (т.н. теорема об обратном операторе).
Множество всех линейных непрерывных операторов из X в Y само является линейным топологическим пространством. Если X и Y нормированы, то $L(X,Y)$ также нормировано операторной нормой. Если Y — банахово, то и $L(X,Y)$ является таковым, независимо от полноты X.

Свойства линейного непрерывного оператора сильно зависят от свойств пространств X и Y. Например, если X — конечномерное пространство, то оператор $A\in L(X,Y)$ будет вполне непрерывным оператором, область его значений $R(A)$ будет конечномерным линейным подпространством, и каждый такой оператор можно представить в виде матрицы^[3].

Непрерывность и сходящиеся последовательности

Линейный оператор $A:X\rightarrow Y$ , действующий из линейного топологического пространства X в линейное топологическое пространство Y, непрерывен тогда и только тогда, когда для любой последовательности $\{x_{n}\}$ точек X, из $x_{n}\rightarrow x_{0}$ следует $Ax_{n}\rightarrow Ax_{0}$ .

Пусть ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }x_{n}=s$ сходится и $A:X\rightarrow Y$ — линейный непрерывный оператор. Тогда справедливо равенство

\sum \limits _{n=1}^{\infty }Ax_{n}=As

Это означает, что к сходящимся рядам в линейных топологических пространствах линейный оператор можно применять почленно.

Если X, Y — банаховы пространства, то непрерывный оператор переводит каждую слабо сходящуюся последовательность в слабо сходящуюся:

если

x_{n}\to x

слабо, то

Ax_{n}\to Ax

слабо.

Связанные определения

Линейный оператор называется ограниченным снизу, если $\exists k>0,\forall x\in X,\|Ax\|\geq k\|x\|$ .

См. также

Сопряжённый оператор

Литература

Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М.: Наука, 1970. — 352 с.

Примечания

↑ Линейные непрерывные функционалы обладают специфическими свойствами, не имеющими места в общем случае, и порождают особенные математические структуры, поэтому теорию линейных непрерывных функционалов рассматривают отдельно от общей теории.
↑ Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968. — 664 с.
↑ Также, в конечномерном пространстве $X$ с базисом $\{x_{k}\}_{k=1}^{n}$ , линейный непрерывный оператор $A$ можно представить в виде $Ax=f_{1}(x)x_{1}+f_{2}(x)x_{2}+\cdots +f_{n}(x)x_{n},\forall x\in X$ , где $f_{k}\in X^{*}$ — функции из сопряжённого пространства.