Мультиполь

Мультипо́ли (от лат. multum — много и греч. πόλος — полюс) — определённые конфигурации точечных источников (зарядов). Простейшими примерами мультиполя служат точечный заряд — мультиполь нулевого порядка; два противоположных по знаку заряда, равных по абсолютной величине — диполь, или мультиполь 1-го порядка; 4 одинаковых по абсолютной величине заряда, размещённых в вершинах параллелограмма, так что каждая его сторона соединяет заряды противоположного знака (или два одинаковых, но противоположно направленных диполя) — квадруполь, или мультиполь 2-го порядка. Название мультиполь включает обозначение числа зарядов (на латинском языке), образующих мультиполь, например, октуполь (окту — 8) означает, что в состав мультиполя входит 8 зарядов^[1].

Выделение таких конфигураций связано с разложением поля^[2] от сложных, ограниченных в пространстве систем источников поля (включая и случай непрерывного распределения источников) по мультиполям - так называемым 'мультипольным разложением'^[3].

Под полем может иметься в виду электростатическое или магнитостатическое поле, а также аналогичные им поля (например, ньютоновское гравитационное поле)^[4].

Такое разложение часто может применяться для приближенного описания поля от сложной системы источников на большом (много большем, чем размер самой этой системы) расстоянии от неё; в этом случае важно то, что поле мультиполя каждого следующего порядка убывает с расстоянием гораздо быстрее предыдущих, поэтому часто можно ограничиться несколькими (в зависимости от расстояния и требуемой точности) членами (низших порядков) мультипольного разложения. В другом случае по разным причинами мультипольное разложение оказывается удобным даже при суммировании всех порядков (тогда оно представляет собой бесконечный ряд); в этом случае оно даёт точное выражение поля не только на больших, но в принципе на любых расстояниях от системы источников (за исключением внутренних её областей).

Кроме статических (или приближенно статических) полей часто в связи с мультипольными моментами говорят о мультипольном излучении - излучении, рассматриваемом как обусловленное изменением во времени мультипольных моментов системы-излучателя. Этот случай отличается тем, что в нем поля разных порядков убывают с расстоянием одинаково быстро, различаясь зависимостью от угла.

Мультипольное разложение электростатического потенциала

Здесь и ниже используется система СГС. Для перевода «электростатических» формул в систему СИ следует ввести множитель ${\displaystyle 1/4\pi \varepsilon _{0}}$ (${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ — электрическая постоянная) во все выражения потенциала и поля через заряды или мультипольные моменты; запись самих моментов одинакова для СИ и СГС. Комментарий по «магнитостатическим» формулам даётся в соответствующем разделе.

Система точечных покоящихся зарядов

Электростатический потенциал системы зарядов в точке ${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle \varphi (\mathbf {R} )=\sum \limits _{i}{\frac {q_{i}}{|\mathbf {R} -\mathbf {r} _{i}|}},}$

где ${\displaystyle q_{i}}$ — заряды, ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ — их координаты. Раскладывая этот потенциал в ряд Тейлора, получим

${\displaystyle \varphi (\mathbf {R} )=\sum \limits _{l=0}^{\infty }\varphi ^{(l)}(\mathbf {R} ),}$

называемое мультипольным разложением, где введено обозначение

${\displaystyle \varphi ^{(l)}(\mathbf {R} )={\frac {(-1)^{l}}{l!}}\sum \limits _{i}q_{i}\sum \limits _{\alpha _{1}\ldots \alpha _{l}}r_{i}^{\alpha _{1}}\dots r_{i}^{\alpha _{l}}{\frac {\partial ^{l}}{\partial R^{\alpha _{1}}\dots \partial R^{\alpha _{l}}}}\left({\frac {1}{R}}\right)}$

— ${\displaystyle 2^{l}}$-польные потенциалы, ${\displaystyle l}$ называют порядком члена мультипольного разложения. Член 0-го порядка имеет вид

${\displaystyle \varphi ^{(0)}(\mathbf {R} )={\frac {\sum \limits _{i}q_{i}}{R}},}$

что совпадает с потенциалом точечного заряда ${\displaystyle Q=\sum \limits _{i}q_{i}}$ (потенциалом монополя). Член 1-го порядка равен

${\displaystyle \varphi ^{(1)}(\mathbf {R} )={\frac {\left(\sum \limits _{i}q_{i}\mathbf {r} _{i}\right)\mathbf {n} }{R^{2}}},}$

где ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {R} /R}$ — единичный вектор, направленный вдоль ${\displaystyle \mathbf {R} }$. Если ввести дипольный момент системы зарядов как ${\displaystyle \mathbf {d} =\sum \limits _{i}q_{i}\mathbf {r} _{i}}$, то система ${\displaystyle \varphi ^{(1)}(\mathbf {R} )}$ совпадёт с потенциалом точечного диполя. Таким образом, потенциал в 1-м порядке разложения по мультиполям имеет вид

${\displaystyle \varphi (\mathbf {R} )={\frac {q}{R}}+{\frac {\mathbf {d} \mathbf {n} }{R^{2}}}+O\left({\frac {1}{R^{3}}}\right).}$

Если ${\displaystyle q=0}$, то дипольный момент не зависит от выбора начала координат. Если ${\displaystyle q\neq 0}$, то можно выбрать систему координат с центром в точке ${\displaystyle \mathbf {R} _{0}=\mathbf {d} /q}$, тогда дипольный момент станет равным нулю. Такая система называется системой центра заряда. Следующий член разложения имеет вид

${\displaystyle \varphi ^{(2)}(\mathbf {R} )={\frac {D^{\alpha _{1}\alpha _{2}}n_{\alpha _{1}}n_{\alpha _{2}}}{2R^{3}}},}$

где ${\displaystyle D^{\alpha _{1}\alpha _{2}}=\sum \limits _{i}q_{i}(3r_{i}^{\alpha _{1}}r_{i}^{\alpha _{2}}-\delta ^{\alpha _{1}\alpha _{2}}\mathbf {r} _{i}^{2})}$ — квадрупольный момент системы зарядов. Введём матрицу ${\displaystyle D}$ квадрупольного момента. Тогда потенциал в 2-м порядке разложения по мультиполям примет вид

${\displaystyle \varphi (\mathbf {R} )={\frac {q}{R}}+{\frac {\mathbf {d} \mathbf {n} }{R^{2}}}+{\frac {\mathbf {n} D\mathbf {n} }{2R^{3}}}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\right).}$

Матрица ${\displaystyle D}$ является бесследовой, то есть ${\displaystyle \mathrm {tr} D=0}$. Кроме того, она является симметричной, то есть ${\displaystyle D^{T}=D}$. Поэтому она может быть приведена к диагональному виду с помощью поворота осей декартовых координат.

В общем случае вклад ${\displaystyle l}$-го порядка в потенциал может быть представлен в виде:

${\displaystyle \varphi ^{(l)}(\mathbf {R} )={\frac {d^{\alpha _{1}\dots \alpha _{l}}n_{\alpha _{1}}\dots n_{\alpha _{l}}}{l!R^{l+1}}},}$

где ${\displaystyle d^{\alpha _{1}\dots \alpha _{l}}}$ — ${\displaystyle 2^{l}}$-польный момент системы зарядов, представляющий собой неприводимый тензор ${\displaystyle l}$-го порядка. Этот тензор симметричен по любой паре индексов и обращается в нуль при сворачивании по любой паре индексов.

Система распределённых зарядов

Если заряд распределён с некоторой плотностью ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$, то переходя к непрерывному пределу (или непосредственно выводя из исходных формул) в формулах для дискретного распределения можно получить мультипольное разложение и в этом случае:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {R} )=\int \limits _{(V)}{\frac {\rho (\mathbf {r} )}{|\mathbf {R} -\mathbf {r} |}}d^{3}\mathbf {r} ,}$

где ${\displaystyle V}$ — объём, в котором находится распределённый заряд. Тогда мультипольные моменты имеют вид:

${\displaystyle q=\int \limits _{(V)}\rho (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} ,}$

${\displaystyle \mathbf {d} =\int \limits _{(V)}\rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} d^{3}\mathbf {r} ,}$

${\displaystyle D^{\alpha _{1}\alpha _{2}}=\int \limits _{(V)}\rho (\mathbf {r} )(3r^{\alpha _{1}}r^{\alpha _{2}}-\delta ^{\alpha _{1}\alpha _{2}}\mathbf {r} ^{2})d^{3}\mathbf {r} }$.

Формулы для потенциалов мультиполей остаются неизменными. Случай дискретной системы зарядов может быть получен подстановкой их плотности распределения, которая может быть выражена через δ-функции:

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=\sum _{i}q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}).}$

При вычислении потенциала полезна формула^[5] ${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {R} -\mathbf {r} |}}={\frac {1}{R}}\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(\cos \theta )\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}}$, где ${\displaystyle P_{n}}$ — полиномы Лежандра, ${\displaystyle \theta }$ — угол между векторами ${\displaystyle \mathbf {R} }$ и ${\displaystyle \mathbf {r} }$.

Мультипольное разложение напряжённости электростатического поля

Напряжённость электростатического поля системы зарядов равна градиенту электростатического потенциала, взятому с обратным знаком

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {R} )=-\nabla \varphi (\mathbf {R} ).}$

Подставив в эту формулу напряжённость мультипольное разложение потенциала, получим мультипольное разложение напряжённости электростатического поля

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {R} )=\sum \limits _{l=0}^{\infty }\mathbf {E} ^{(l)}(\mathbf {R} ),}$

где

${\displaystyle (\mathbf {E} ^{(l)}(\mathbf {R} ))_{\alpha _{0}}={\frac {(-1)^{l+1}}{l!}}\sum \limits _{i}q_{i}r_{i}^{\alpha _{1}}\dots r_{i}^{\alpha _{n}}{\frac {\partial ^{l+1}}{\partial R_{i}^{\alpha _{0}}\partial R_{i}^{\alpha _{1}}\dots \partial R_{i}^{\alpha _{n}}}}\left({\frac {1}{R}}\right)}$

— электрическое поле ${\displaystyle 2^{l}}$-поля.

В частности поле точечного заряда (монополя) имеет вид:

${\displaystyle \mathbf {E} ^{(0)}(\mathbf {R} )={\frac {Q}{R^{2}}}\mathbf {n} ,}$

что соответствует закону Кулона.

Поле точечного диполя:

${\displaystyle \mathbf {E} ^{(1)}(\mathbf {R} )={\frac {3(\mathbf {n} \mathbf {d} )\mathbf {n} -\mathbf {d} }{R^{3}}}.}$

Поле точечного квадруполя:

${\displaystyle \mathbf {E} ^{(2)}(\mathbf {R} )={\frac {5\mathbf {n} (\mathbf {n} D\mathbf {n} )-2D\mathbf {n} }{2R^{4}}}.}$

Таким образом, электрическое поле системы покоящихся зарядов во 2-м порядке мультипольного разложения имеет вид:

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {R} )={\frac {Q}{R^{2}}}\mathbf {n} +{\frac {3(\mathbf {n} \mathbf {d} )\mathbf {n} -\mathbf {d} }{R^{3}}}+{\frac {5\mathbf {n} (\mathbf {n} D\mathbf {n} )-2D\mathbf {n} }{2R^{4}}}+O\left({\frac {1}{R^{5}}}\right).}$

Из данной формулы просто получить нормальную (радиальную) компоненту электрического поля

${\displaystyle E_{n}(\mathbf {R} )=\mathbf {n} \mathbf {E} (\mathbf {R} )={\frac {Q}{R^{2}}}+{\frac {2\mathbf {n} \mathbf {d} }{R^{3}}}+{\frac {3\mathbf {n} D\mathbf {n} }{2R^{4}}}+O\left({\frac {1}{R^{5}}}\right).}$

Тангенциальная компонента может быть найдена вычитанием нормальной

${\displaystyle E_{\tau }(\mathbf {R} )=E(\mathbf {R} )-\mathbf {n} \mathbf {E} (\mathbf {R} )={\frac {(\mathbf {n} \mathbf {d} )\mathbf {n} -\mathbf {d} }{R^{3}}}+{\frac {\mathbf {n} (\mathbf {n} D\mathbf {n} )-D\mathbf {n} }{R^{4}}}+O\left({\frac {1}{R^{5}}}\right).}$

Если нормальная (радиальная) компонента отражает сферически симметричное распределение зарядов, то тангенциальая — несферический вклад в электростатическое поле. Таким образом, квадрупольный момент является интересным для исследования не только, когда суммарный заряд и дипольный момент системы равны нулю, но и в том случае, когда кулоновский вклад ненулевой. Тогда, в соответствии с формулой для тангенциальной компоненты, квадрупольный момент характеризует степень несферичности электрического поля в системе центра заряда. Именно так были измерены электрические квадрупольные моменты у атомных ядер и был сделан вывод об отсутствии у них сферической симметрии.

Мультипольное разложение вектор-потенциала магнитного поля

Как и формулы электростатики выше, нижеследующие «магнитные» соотношения записываются в системе СГС. Для перехода к СИ нужно убрать ${\displaystyle 1/c}$ из всех выражений, а в формулы для ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ввести множитель ${\displaystyle \mu _{0}/4\pi }$ (${\displaystyle \mu _{0}}$ — магнитная постоянная). Здесь, в отличие от электростатических соотношений, изменяется и выражение магнитного момента (в СИ будет убрана скорость света).

Векторный потенциал зарядов, движущихся с постоянной скоростью имеет вид:

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {R} )={\frac {1}{c}}\sum \limits _{i}{\frac {q_{i}\mathbf {v} _{i}}{|\mathbf {R} -\mathbf {r} _{i}|}}}$

Он аналогичным образом раскладывается в мультипольное разложение:

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {R} )=\sum \limits _{l=1}^{\infty }\mathbf {A} ^{(l)}(\mathbf {R} ).}$

Ряд начинается с ${\displaystyle l=1}$, так как магнитных зарядов не существует (магнитные заряды в физике фундаментальных взаимодействий не обнаружены, хотя они и могут быть использованы, как модель для описания явлений в физике твёрдого тела). Этот член соответствует магнитному диполю (точечному круговому контуру с током):

${\displaystyle \mathbf {A} ^{(1)}(\mathbf {R} )={\frac {[\mathbf {m} ,\mathbf {R} ]}{R^{3}}},}$

где ${\displaystyle \mathbf {m} }$ — магнитный момент системы токов (движущихся зарядов):

${\displaystyle \mathbf {m} ={\frac {1}{2c}}\sum \limits _{i}q_{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {v} _{i}]}$.

Если ток распределён по объёму среды, магнитный дипольный момент записывается как

${\displaystyle \mathbf {m} ={1 \over 2c}\int \limits _{(V)}[\mathbf {r} ,\mathbf {j} ]d^{3}\mathbf {r} }$,

где ${\displaystyle \mathbf {j} }$ — плотность тока в элементе объёма ${\displaystyle dV=d^{3}\mathbf {r} }$. При этом выражение для ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {R} )}$ через ${\displaystyle \mathbf {m} }$ изменений не претерпевает.

См. также

• Диполь
• Квадруполь

Примечания

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
• Прохоров А. М. (ред.). Физическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1992. — Т. 3. — 672 с. — ISBN 5-85270-034-7.
• Денисов В. И. Глава II. Стационарные электромагнитные поля // Лекции по электродинамике. Учебное пособие. — 2-е изд.. — М.: Издательство УНЦ ДО, 2007. — 272 с. — ISBN 978-5-88800-330-5.

Эта страница в последний раз была отредактирована 8 апреля 2024 в 15:18.