Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Рисунок 1. Монотонно возрастающая функция. Она строго возрастает слева и справа, а в центре не убывает.
Рисунок 1. Монотонно возрастающая функция. Она строго возрастает слева и справа, а в центре не убывает.
Рисунок 2. Монотонно убывающая функция.
Рисунок 2. Монотонно убывающая функция.
Рисунок 3. Функция, не являющаяся монотонной.
Рисунок 3. Функция, не являющаяся монотонной.

Моното́нная фу́нкция — функция одной переменной, определённая на некотором подмножестве действительных чисел, которая либо везде (на области своего определения) не убывает, либо везде не возрастает. Более точно, это функция , приращение которой при не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное[1]. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной.

Функция называется возраста́ющей, если большему значению аргумента соответствует не меньшее (по другой терминологии — большее) значение функции. Функция называется убыва́ющей, если большему значению аргумента соответствует не большее (по другой терминологии — меньшее) значение функции.

Определения

Пусть дана функция Тогда

  • функция называется возраста́ющей на , если
.
  • функция называется стро́го возраста́ющей на , если
.
  • функция называется убыва́ющей на , если
.
  • функция называется стро́го убыва́ющей на , если
.

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Другая терминология

Иногда под терминами возрастающая (убывающая) функция подразумевается строго возрастающая (убывающая) функция. Тогда про нестрого возрастающую (убывающую) функцию говорят, неубывающая (невозрастающая)[2]:

  • Функция называется возрастающей на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала, таких что , справедливо . Другими словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
  • Функция называется убывающей на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала, таких что , справедливо . Другими словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
  • Функция называется неубывающей на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала, таких что , справедливо .
  • Функция называется невозрастающей на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала, таких что , справедливо .
  • Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными, неубывающие и невозрастающие функции — монотонными.

Свойства монотонных функций

Условия монотонности функции

  • (Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на и имеет в каждой точке производную Тогда
    не убывает на тогда и только тогда, когда
    не возрастает на тогда и только тогда, когда
  • (Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на и имеет в каждой точке производную Тогда
    если то строго возрастает на
    если то строго убывает на

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале Точнее имеет место

  • (Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть и всюду на интервале определена производная Тогда строго возрастает на интервале тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Аналогично, строго убывает на интервале тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Примеры

  • Функция строго возрастает на всей числовой прямой, несмотря на то, что точка является стационарной, т.е. в этой точке .
  • Функция является строго возрастающей не только на открытом интервале , но и на замкнутом интервале .
  • Экспонента строго возрастает на всей числовой прямой.
  • Константа одновременно не возрастает и не убывает на всей числовой прямой.
  • Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.
  • Функция Минковского — пример сингулярной строго возрастающей функции.

Вариации и обобщения

Примечания

  1. Монотонная функция / Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
  2. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 4. Непрерывность функции // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 146. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
  3. Collins, P. J. (1971). Concordant mappings and the concordant-dissonant factorization of an arbitrary continuous function. Proceedings of the American Mathematical Society, 27(3), 587-591.

См. также

Эта страница в последний раз была отредактирована 21 января 2021 в 11:43.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).