Многообразие Шимуры

Многообразие Шимуры (иногда многообразие Симуры) — аналог модулярной кривой в более высоких размерностях, который возникает как фактор эрмитова симметрического пространства^[en] по конгруэнтной подгруппе редуктивной алгебраической группе, определённой над Q. Термин «многообразие Шимуры» относится к высоким размерностям, в случае одномерных многообразий говорят о кривых Шимуры. Модулярные поверхности Гильберта^[en] и модулярные многообразия Зигеля^[en] находятся среди лучших известных классов многообразий Шимуры.

Специальные случаи многообразий Шимуры ввёл Горо Шимура в ходе обобщения теории комплексного умножения^[en] (модулярных кривых). Шимура показал, что первоначально определённые аналитически, объекты являются арифметическими в том смысле, что они удовлетворяют моделям, определенным^[en] над числовым полем, полем отражения многообразия Шимуры. В 1970-х годах Пьер Делинь создал аксиоматическую схему для работы Шимуры. Примерно в то же время Роберт Ленглендс заметил, что многообразия Шимуры образуют естественную область примеров, для которых эквивалентность между мотивными^[en] и автоморфными L-функциями^[en], постулированная в программе Ленглендса, может быть проверена. Автоморфные формы, реализованные в когомологии многообразия Шимуры, более поддаются изучению, чем общие автоморфные формы. В частности, существует построение, присоединяющее к ним представления Галуа^[en].

Определение

Исходные данные Шимуры

Пусть S = Res_C/R G_m — ограничение Вейля мультипликативной группы из комплексных чисел в вещественные числа. Оно является алгебраической группой, группа R-точек которой S(R) — C^*, а группа C-точек — ${\displaystyle \mathbf {C} ^{*}\times \mathbf {C} ^{*}}$. Исходные данные Шимуры — это пара (G, X), состоящая из редуктивной алгебраической группы G, определённой над полем Q рациональных чисел, и G(R)-класса сопряжённости X гомоморфизмов h: ${\displaystyle S\rightarrow G{\mathbf {R} }}$, удовлетворяющего следующим аксиомам:

• Для любого h из X в g_C могут встретиться только веса (0,0), (1,−1), (−1,1), то есть комплексифицированная алгебра Ли группы G разлагается в прямую сумму

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} ={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}^{+}\oplus {\mathfrak {p}}^{-},}$

где для любого z ∈ S h(z) действует тривиально на первый член суммы и посредством ${\displaystyle z/{\bar {z}}}$ и ${\displaystyle {\bar {z}}/z}$) на второй и третий члены соответственно.

• Сопряжённое действие h(i) порождает картанову инволюцию^[en] на сопряжённой группе группы G_R.
• Сопряжённая группа для G_R не подчиняется фактору H, определённому над Q, так что проекция h на H тривиальна.

Из этих аксиом следует, что X имеет единственную структуру комплексного многообразия (возможно, несвязную), такую, что для любого представления ${\displaystyle \rho :G_{\mathbf {R} }\rightarrow GL(V)}$, семейство ${\displaystyle (V\rho \cdot h)}$ является голоморфным семейством структур Ходжа. Более того, оно образует вариацию структуры Ходжа и X является конечным объединением (непересекающихся) эрмитово-симметрических областей^[en].

Многообразие Шимуры

Пусть A_ƒ — кольцо аделей^[en] группы Q. Для любой достаточно малой компактной открытой подгруппы K группы G(A_ƒ) двойной смежный класс^[en]

${\displaystyle Sh_{K}(G,X)=G(\mathbb {Q} )\backslash X\times G(\mathbb {A} _{f})/K}$

является конечным объединением локально симметрических многообразий формы ${\displaystyle \Gamma \smallsetminus X^{+}}$, где верхний индекс плюс обозначает связную компоненту. Многообразия ${\displaystyle Sh_{K}(G,X)}$ являются комплексными алгебраическими многообразиями и они образуют инверсивную систему^[en] над всеми достаточно маленькими компактными открытыми подгруппами K. Эта инверсивная система

${\displaystyle (Sh_{K}(G,X))_{K}}$

подчиняется естественному правому действию ${\displaystyle G(\mathbf {A} _{f})}$. Она также называется многообразием Шимуры, ассоциированным с исходными данными Шимуры (G, X) и обозначается Sh(G, X).

История

Для специальных типов эрмитово-симметрических областей и конгруэнтных подгрупп Γ алгебраическое многообразие вида ${\displaystyle \Gamma \smallsetminus X=Sh_{K}(G,X)}$ и его компактификация^[en] были введены в серии статей Горо Шимуры в течение 1960-х годов. Подход Шимуры, позднее представленный в его монографиях, был в большой степени феноменологическим и преследовал цель широкого обобщения формулировки закона взаимности теории комплексного умножения^[en] (модулярных кривых). Ретроспективно, название «многообразие Шимуры» ввёл Делинь, который пробовал изолировать абстрактные свойства, играющие роль в теории Шимуры. В формулировке Делиня многообразия Шимуры — это область параметров структур Ходжа некоторого типа. Тогда они образуют естественное обобщение модулярных кривых более высокой размерности, которые рассматриваются как пространства модулей эллиптических кривых с уровневой структурой.

Примеры

Пусть F — полностью вещественное числовое поле и D — кватернионная алгебра с делением над F. Мультипликативная группа D^× порождает каноническое многообразие Шимуры. Его размерность d является числом бесконечных мест, на которые D расщепляется. В частности, если d = 1 (например, если F = Q и ${\displaystyle D\otimes \mathbf {R} \cong \mathrm {M} _{2}(\mathbf {R} )}$), фиксируя достаточно малую арифметическую подгруппу группы D^×, получаем кривую Шимуры и кривые, возникающие из этого построения, уже компактны (то есть проективные^[en]).

Некоторые примеры кривых с известными уравнениями, заданные поверхностями Гурвица низкого рода:

• Квартика Клейна^[en] (род 3)
• Поверхность Макбита (род 7)
• Первая тройка Гурвица^[en] (род 14)

и кривой Ферма степени 7^[1].

Другие примеры многообразий Шимуры включают модулярные поверхности Пикара^[en] и многообразия Гильберта — Блюменталя^[en].

Канонические модели и специальные точки

Любое многообразие Шимуры можно определить над каноническим числовым полем E называется полем отражений. Этот важный результат, принадлежащий Шимуре, показывает, что многообразия Шимуры, которые априори являются лишь комплексными многообразиями, имеют алгебраическое поле определения^[en] и, поэтому, имеют арифметическое значение. Это образует стартовую точку в формулировке закона взаимности, в котором важную роль играют некоторые арифметически определённые специальные точки.

Качественная природа замыкания Зарисского множеств точек на многообразии Шимуры описывается гипотезой Андре — Оорта. Условные результаты могут быть получены из этой гипотезы, исходя из обобщённой гипотезы Римана.

Роль в программе Ленглендса

Многообразия Шимуры играют выдающуюся роль в программе Ленглендса. Из отношения конгруэнтности Эйхлера — Шимуры^[en] следует, что дзета-функция Хассе — Вейля модулярной кривой является произведением L-функций, ассоциированных с явно определёнными модулярными формами веса 2. На самом деле, Горо Шимура ввёл свои многообразия и доказал свой закон взаимности в процессе обобщения этой теоремы. Дзета-функции многообразий Шимуры, ассоциированных с группой GL₂ над другими числовыми полями и их внутренние формы (то есть мудьтипликативные группы алгебр кватернионов) изучали Эйхлер, Шимура, Куга, Сато и Ихара. На основе их результатов Роберт Ленглендс высказал прогноз, что дзета-функция Вейля любого алгебраического многообразия W, определённого над числовым полем должна быть произведением положительных и отрицательных степеней автоморфных L-функций, то есть должна возникать из набора автоморфных представлений^[en]*. Однако утверждения такого типа могут быть доказаны, если W является многообразием Шимуры. По словам Ленглендса:

Примечания

Литература

• Montserrat Alsina, Pilar Bayer. Quaternion orders, quadratic forms, and Shimura curves. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2004. — Т. 22. — (CRM Monograph Series). — ISBN 0-8218-3359-6.
• Harmonic Analysis, the Trace Formula and Shimura Varieties / James Arthur, David Ellwood, Robert Kottwitz. — AMS, 2005. — Т. 4. — (Clay Mathematics Proceedings). — ISBN 978-0-8218-3844-0.
• Pierre Deligne. Travaux de Shimura // Séminaire Bourbaki, 23ème année 1970/71 Exp. No. 389. — Springer, Berlin, 1971. — Т. 244. — С. 123–165. — (Lecture Notes in Math.).
• Pierre Deligne. Variétés de Shimura: interprétation modulaire, et techniques de construction de modèles canoniques // Automorphic forms, representations and L-functions; Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII (Corvallis, OR, 1977), Part 2. — Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1979. — С. 247–289.
• Pierre Deligne, James S. Milne, Arthur Ogus, Kuang-yen Shi. Hodge cycles, motives, and Shimura varieties. — Berlin-New York: Springer-Verlag, 1982. — Т. 900. — С. ii+414. — (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 3-540-11174-3.
• The eightfold way / Silvio Levy. — Cambridge University Press, 1999. — Т. 35. — (Mathematical Sciences Research Institute Publications). — ISBN 978-0-521-66066-2.
• Encyclopedia of Mathematics / Michiel Hazewinkel. — Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4.
• Milne J. Shimura varieties and motives // Motives, Proc. Symp. Pure Math, 55:2 / Jannsen U., Kleiman S.. Serre J.-P.. — Amer. Math. Soc, 1994. — С. 447–523.
• Milne J. S. Introduction to Shimura varieties. — 2004.
• Harry Reimann. The semi-simple zeta function of quaternionic Shimura varieties / Dold E., Takens F.. — New York, London, Paris, Tokio: Springer, 1997. — Т. 1657. — (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 3-540-62645-X.
• Goro Shimura. The Collected Works of Goro Shimura // . — 2003—2016. — Т. 1–5.
• Goro Shimura. Introduction to Arithmetic Theory of Automorphic Functions. — Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1994. — Т. 11. — (Publications of the mathematical society of Japan). — ISBN 0-691-08092-5.

Эта страница в последний раз была отредактирована 30 мая 2021 в 13:42.