Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Экспонента матрицы — матричная функция от квадратной матрицы, аналогичная обычной экспоненциальной функции. Матричная экспонента устанавливает связь между алгеброй Ли матриц и соответствующий группой Ли.

Для вещественной или комплексной матрицы размера экспонента от , обозначаемая как или , — это матрица , определяемая степенным рядом:

,

где  — kстепень матрицы . Данный ряд всегда сходится, так что экспонента от всегда корректно определена.

Если  — матрица размера , то матричная экспонента от есть матрица размерности , единственный элемент которой равен обычной экспоненте от единственного элемента .

Свойства

Основные свойства

Для комплексных матриц и размера , произвольных комплексных чисел и , единичной матрицы и нулевой матрицы , экспонента обладает следующим свойствами:

Системы линейных дифференциальных уравнений

Одна из причин, обуславливающих важность матричной экспоненты, заключается в том, что она может быть использована для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений[1]. Решение системы:

,

где  — постоянная матрица, даётся выражением:

Матричная экспонента может быть также использована для решения неоднородных уравнений вида

.

Не существует замкнутого аналитического выражения для решений неавтономных дифференциальных уравнений вида

,

где  — не постоянная, но разложение Магнуса[en] позволяет получить представление решения в виде бесконечной суммы.

Экспонента суммы

Для любых двух вещественных чисел (скаляров) и экспоненциальная функция удовлетворяет уравнению , это же свойство имеет место для симметричных матриц — если матрицы и коммутируют (то есть ), то . Однако для некоммутирующих матриц это равенство выполняется не всегда, в общем случае для вычисления используется формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа.

В общем случае из равенства не следует, что и коммутируют.

Для эрмитовых матриц существует две примечательные теоремы, связанные со следом экспонент матриц.

Неравенство Голдена — Томпсона

Если и  — эрмитовы матрицы, то[2]:

,

где  — след матрицы . Коммутативность для выполнения данного утверждения не требуется. Существуют контрпримеры, которые показывают, что неравенство Голдена — Томпсона не может быть расширено на три матрицы, а не всегда является вещественным числом для эрмитовых матриц , и .

Теорема Либа

Теорема Либа, названная по имени Эллиотта Либа[en], гласит, что для фиксированной эрмитовой матрицы , функция:

является вогнутой на конусе положительно-определённых матриц[3].

Экспоненциальное отображение

Экспонента матрицы всегда является невырожденной матрицей. Обратная к матрица равна , это аналог того факта, что экспонента от комплексного числа никогда не равна нулю. Таким образом, матричная экспонента определяет отображение:

из пространства всех матриц размерности на полную линейную группу порядка , то есть группу всех невырожденных матриц размерности . Это отображение является сюръекцией, то есть каждая невырожденная матрица может быть записана как экспонента от некоторой другой матрицы (чтобы это имело место необходимо рассматривать поле комплексных чисел , а не вещественных чисел ).

Для любых двух матриц и имеет место неравенство

,

где обозначает произвольную матричную норму. Отсюда следует, что экспоненциальное отображение является непрерывным и липшицевым на компактных подмножествах .

Отображение:

определяет гладкую кривую в полной линейной группе, которая проходит через единичный элемент при .

Приложения

Линейные дифференциальные уравнения

Пример однородной системы

Для системы:

её матрица есть:

Можно показать, что экспонента от матрицы есть

таким образом, общее решение этой системы есть:

Пример неоднородной системы

Для решения неоднородной системы:

вводятся обозначения:

и

Так как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения дают общее решение неоднородного уравнения, остаётся лишь найти частное решение. Так как:

где  — начальное условие.

Обобщение: вариация произвольной постоянной

В случае неоднородной системы можно использовать метод вариации произвольной постоянной. Ищется частное решение в виде: :

Чтобы было решением, должно иметь место следующее:

Таким образом:

где определяется из начальных условий задачи.

См. также

Примечания

  1. Пискунов H. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2.: Учебное пособие для втузов. — 13-е изд.. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — С. 544—547. — 560 с.
  2. Bhatia, R. Matrix Analysis (неопр.). — Springer, 1997. — Т. 169. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-94846-1.
  3. E. H. Lieb. Convex trace functions and the Wigner–Yanase–Dyson conjecture (англ.) // Adv. Math. : journal. — 1973. — Vol. 11, no. 3. — P. 267—288. — doi:10.1016/0001-8708(73)90011-X.

Ссылки

Эта страница в последний раз была отредактирована 18 мая 2020 в 12:49.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).