Матрицант

Матрица́нт — фундаментальная матрица ${\displaystyle X(t)}$ решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений

${\displaystyle x'(t)=A(t)x(t),\quad x(t)\in \mathbb {R} ^{n},\quad A(t)}$ — однопараметрическое семейство матриц.

нормированная в точке ${\displaystyle t_{0}}$. (Также матрицантом иногда называют матрицу Коши системы дифференциальных уравнений.)

Матрицант является единственным непрерывным решением матричной задачи Коши

${\displaystyle X'=A(t)X}$, ${\displaystyle X(t_{0})=I}$ (${\displaystyle I}$ — единичная матрица)

если матричная функция ${\displaystyle A(t)}$ локально суммируема на некотором интервале.

Любое решение ${\displaystyle x(t)}$ системы записывается в виде ${\displaystyle x(t)=X(t)x(t_{0})}$.

Представление в виде ряда

Для матрицанта справедливо разложение в ряд

${\displaystyle X(t)=I+\int _{t_{0}}^{t}A(t_{1})dt_{1}+\int _{t_{0}}^{t}A(t_{1})\int _{t_{0}}^{t_{1}}A(t_{2})dt_{2}dt_{1}+\ldots =}$

${\displaystyle =I+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\;\int \limits _{t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}<t}\prod \limits _{k=1}^{n}A(t_{k})\prod \limits _{k=1}^{n}dt_{k}}$

Представление в виде экспоненты

Если матрица ${\displaystyle A(t)}$ удовлетворяет условию Лаппо-Данилевского:

${\displaystyle [\int _{t_{0}}^{t}A(s)ds,A(t)]=0,}$

где ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ — коммутатор, то матрицант примет вид:

${\displaystyle X(t)=e^{\int _{t_{0}}^{t}A(s)ds}}$

В общем случае решение может быть записано через T-экспоненту:

${\displaystyle X(t)=\mathrm {Texp} \left(\int _{t_{0}}^{t}A(s)ds\right)}$

Определитель матрицанта

Определитель матрицанта является определителем Вронского фундаментальной нормированной системы решений соответствующего дифференциального уравнения. Для него справедлива формула Лиувилля-Остроградского

${\displaystyle W_{n}(t)=\det X(t)=e^{\int _{t_{0}}^{t}\mathop {\rm {tr}} \;A(s)ds}}$

Тогда с учётом ${\displaystyle x(t)=X(t)x(t_{0})}$ формула Лиувилля-Остроградского для определителя Вронского произвольной системы решений примет вид:

${\displaystyle W(t)=W(t_{0})e^{\int _{t_{0}}^{t}\mathop {\rm {tr}} \;A(s)ds}.}$

Литература

Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.

А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения. — Физматлит, 2005. — ISBN 5-9221-0277-X.

Эта страница в последний раз была отредактирована 28 марта 2022 в 17:19.