Логарифмический масштаб

Субтитры

Здравствуйте! Я уверена, что вы знакомы с линейной шкалой. Вы очень часто используете ее на уроках математики. Чтобы вы окончательно поняли, о чем я говорю, давайте я нарисую числовую прямую. Здесь я отмечу 0. Итак, если мы переместились вот на это расстояние вправо по этой прямой, то это значит, что мы прибавили 10. То есть, если мы начали движение от 0, то, прибавив 10, мы получим 10. А если мы переместимся еще на 10, то есть прибавим еще 10, то уже получим 20. Я могу и дальше продолжить до 30, 40, 50. Мы можем рассмотреть и другой вариант развития событий. А что, если мы вот от этой точки будем продвигаться в другом направлении? В этом случае мы вычитаем 10. Тогда 10 минус 10 равно 0. А если мы переместимся еще на 10 влево, то получим минус 10. Ну, а если мы еще продвинемся на 10, т.е мы вычитаем еще 10, то в результате мы получаем минус 20. Неважно, сколько раз мы перемещаемся на это расстояние вправо, мы просто прибавляем столько же раз число 10. Другими словами, если мы переместимся на 10 два раза, то это значит, что нам нужно два раза прибавить 10. Этот метод работает для целых чисел, а значит, он будет работать и для дробей. Давайте выясним, где будет 5. Мы знаем, что 5 – это половина от 10. Значит, чтобы получить 5, нам надо взять половину от 10, то есть переместиться на половину расстояния равного 10. Другими словами, если мы пройдем половину этого расстояния, то получим 1/2 умножить на 10, или 5. В этом случае мы получим просто 5. Но, если мы переместимся на половину от 10 влево, то получим минус 5. Как видите, я не рассказала вам ничего нового. Я просто объяснила по-новому. Это поможет нам ознакомиться с логарифмической шкалой. Посмотрите, это у нас обычная числовая прямая. Если мы отметим здесь единицу, то мы переместимся на 1/10 вот от этого расстояния, поскольку единица – это 1/10 от 10. Я могу отметить любое число на этой прямой. Только что мы рассмотрели ситуацию, в которой мы прибавляли или вычитали 10. Но существует и другое объяснение того, что происходит, когда мы движемся либо вправо, либо влево. Давайте разберем такой случай. Допустим, вот еще одна прямая. Вы, вероятно, догадались, что это будет логарифмическая шкала. Началом будет единица. Обратите внимание, что в отличие от линейной шкалы, здесь мы начинаем отсчет с единицы. Предположим, мы берем такое же расстояние, как и в предыдущей ситуации. Но здесь мы не прибавляем 10, а умножаем на 10. Следовательно, если мы начинаем движение от единицы и перемещаемся на это вот расстояние, то мы получим 10. А если мы переместимся еще на 10, то есть умножим еще на 10, то получим 100. Я полагаю, разница между этими шкалами очевидна. А что происходит при движении влево по этой шкале? Допустим, мы начинаем движение от отметки 100 и перемещаемся на 10 влево. Что происходит в этом случае? В этом случае мы делим на 10. А если мы 100 разделим на 10, то получим 10. А 10 разделить на 10 - это единица. Ну, а если мы переместимся еще на это же расстояние влево, то нам надо еще раз разделить на 10. В результате получится 1/10. А если мы еще переместимся на это же расстояние, то получим 1/100. Неважно, сколько раз мы перемещаемся на это расстояние вправо, мы умножаем на 10 столько же раз. Давайте я приведу пример. Допустим, мы берем два таких расстояния. Значит, чтобы найти длину вот этого отрезка, нам надо умножить на 10 и еще раз умножить на 10. Другими словами, мы должны умножить на 10 в квадрате. Таким образом, я умножаю на 10 в какой-то степени. И эта степень равна количеству перемещений на это расстояние. Все это касается движения вправо. В том случае, если мы переместимся дважды на это же расстояние влево, мы должны дважды разделить на 10, то есть разделить на 10 и еще раз разделить на 10. Другими словами, нам надо умножить на единицу, деленную на 10 в квадрате, или просто разделить на 10 в квадрате. Сравните эти две шкалы. Как вы видите, диапазон значений второй намного больше. Здесь мы можем отметить как очень большие числа до 100, так и маленькие от одной десятой до одной сотой. А вот на этой шкале нет таких маленьких и таких больших отметок. Если мы продолжим дальше эту шкалу, то здесь у нас будет 1000, 10000 и так далее. Как вы понимаете, логарифмическая шкала охватывает намного больший диапазон значений. И есть еще одна очень важная деталь. Если мы перемещаемся по линейной шкале, то мы прибавляем или вычитаем определенное значение. То есть когда мы продвигаемся вот на такое расстояние, мы прибавляем 2, если, конечно, мы направляемся вправо. А когда мы движемся в левую сторону, то мы вычитаем 2. Что касается логарифмической шкалы, то здесь все по-другому: шкала определяется умножением или делением на четко установленное значение. А как же найти это значение? В этом нам поможет степень. Допустим, нам надо отметить 2. Где будет находиться 2 на логарифмической шкале? Давайте, наверное, начнем с другого числа. Например, нам надо выяснить, где на этой шкале находится 100. Предположим, что этого числа здесь нет. В этом случае мы должны определить, сколько раз нужно умножить 10 само на себя, чтобы получить 100. Столько же раз (в нашей ситуации дважды) нужно взять вот это расстояние. По существу мы задаем себе следующий вопрос: в какую степень нужно возвести 10, чтобы получить 100. В данном случае, ответ – 2. А значит, нам надо переместиться на два таких расстояния вправо, чтобы получить 100. Есть и другой вариант записи вот этого выражения. Мы могли бы записать, чему равен логарифм 100 по основанию 10. Следовательно, здесь вместо знака вопроса будет 2. Это значит, что нам надо переместиться на два таких расстояния вправо, чтобы отметить число 100 на шкале. И для того, чтобы отметить точку 2, я сделаю то же самое. Я задам такой вопрос: 10 в какой степени равно 2, или чему равен логарифм 2 по основанию 10? Теперь я беру калькулятор и выясняю, чему равен этот логарифм. Итак, логарифм 2. В большинстве калькуляторов основание логарифма не дается. У нас получилось 0,3. Давайте запишем: 0,301. Получившееся число говорит нам о том, что мы должны переместиться на 0,301 вот от этого расстояния. Когда мы берем полностью расстояние 10, это значит, что мы возводим 10 в первую степень. А чтобы получить 2, нам надо взять 0,301 от 10, от этого расстояния. Следовательно, нам нужно взять приблизительно третью часть этого отрезка. Вот где-то здесь будет число 2. Но самое интересное качество логарифмической шкалы состоит в том, что это расстояние обозначает в целом умножение на 2. Следовательно, если мы переместимся еще раз на такое расстояние, то нам нужно умножить еще раз на 2. В результате мы получим 4. А умножим еще раз на 2, получим 8. Допустим, мне надо отметить на логарифмической шкале число 5. Есть два варианта определить, где находится 5. Мы можем найти логарифм 5 по основанию 10 и выяснить расстояние на логарифмической шкале. Или вы можете сказать: здесь у нас 10, и если мы переместимся вот на это расстояние влево, то мы разделим 10 на 2. Следовательно, если мы берем это расстояние, значит, мы делим на 2. Итак, если мы делим на 2, то где-то здесь у нас будет 5. А как нам отметить число 3? Точно так же, как и 2. Мы задаем вопрос: в какую степень нужно возвести 10, чтобы получить 3? Чтобы это выяснить, я снова беру калькулятор. Значит, логарифм 3 по основанию 10 - это 0,477, почти половина нашего расстояния. Значит, 3 будет где-то здесь. Как вы видите, мы отметили все числа, кроме 6, 7, 8, и 9. Нет, где находится 8, мы уже определили. Давайте выясним местонахождение 9. Если нам надо отметить 9, то мы должны еще раз умножить на 3. Таким образом, чтобы получить 3, мы перемещаемся вот на такое расстояние. А чтобы получить 9, нам надо умножить еще раз на 3, т.е. переместиться еще на это расстояние. Значит, 9 будет вот здесь. Ну, а если нам нужно определить местоположение 6, то нам нужно умножить на 2. Расстояние, которое мы получаем при умножении на 2 у нас уже есть. Следовательно, от 3 мы откладываем такое же расстояние и получаем 6. А если мы хотим выяснить, где расположено число 7, мы снова используем логарифм. Итак, логарифм 7 равен приблизительно 0,85. Это будет где-то здесь. В чем удобство логарифмической шкалы? Во-первых, диапазон чисел, которые мы можем отметить, намного больше, чем на линейной шкале. С помощью логарифмической шкалы мы можем сделать очень многое. Но, что самое интересное, что если мы перемещаемся по шкале на определенное расстояние, мы должны умножить на определенное число. Также странно то, что расстояния между значениями не одинаковые, в отличие от числовой прямой. Вы, вероятно, обратили внимание на то, какой у нас скачок здесь от единицы до 2. А вот от 2 до 3 уже скачок меньше. С каждым разом расстояние между значениями все меньше и меньше: от 3 до 4, от 4 до 5, от 5 до 6 и так далее до 10. А затем после 10 снова большой скачок. Поскольку, чтобы определить, где находится 20, нам нужно умножить на 2. Следовательно, мы должны переместиться на такое же расстояние. Здесь будет 20. Если мы возьмем расстояние от одного до 3 и перенесем сюда, то получим здесь 30, так как мы умножаем на 3. Аналогично мы можем отметить и остальные числа на этом промежутке. Таким образом, логарифмическая шкала позволяет проводить довольно сложные вычисления с точностью два-три десятичных знака. Также логарифмическая шкала исключительно удобна для отображения очень больших диапазонов значений величин. На сегодня все! До скорых встреч!