Лемма Либермана

Лемма Либермана — основной инструмент изучения внутренней метрики выпуклой поверхности.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle K}$ есть выпуклое тело в евклидовом пространстве, и ${\displaystyle p\in K}$. Предположим ${\displaystyle \gamma }$ есть кратчайшая на поверхности ${\displaystyle K}$. Рассмотрим конус ${\displaystyle L}$ с вершиной в p над ${\displaystyle \gamma }$, то есть множество всех точек типа ${\displaystyle p+\lambda \cdot (\gamma (t)-p)}$, ${\displaystyle \lambda \geq 0}$. Пусть ${\displaystyle \sigma :L\to \mathbb {R} ^{2}}$ есть изометрическое вложение тогда ${\displaystyle \sigma \circ \gamma }$ образует выпуклую кривую на плоскости.

Литература

• Либерман, И. М. «Геодезические линии на выпуклых поверхностях». ДАН СССР. 32.2. (1941), 310—313.
• Погорелов А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. — М.: Наука, 1969. — 760 с., Глава II, Теорема 4.

Эта страница в последний раз была отредактирована 29 ноября 2020 в 00:39.