Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Соотноше́ние Безу́ — представление наибольшего общего делителя целых чисел в виде их линейной комбинации с целыми коэффициентами[1].

Названо в честь французского математика Этьена Безу.

История

Впервые данный факт опубликовал в 1624 году французский математик Клод Гаспар Баше де Мезириак для случая взаимно простых чисел[2]. Формулировка Баше следующая: «Даны два [взаимно] простых числа, найдите наименьшее кратное каждого из них, превышающее на единицу кратное другого»[3]. Для решения задачи Баше использовал алгоритм Евклида.

Этьен Безу в своём четырёхтомном «Курсе математики» (Cours de Mathematiques a l'usage des Gardes du Pavillon et de la Marine, том 3, 1766) обобщил теорему, распространив её на произвольные пары чисел, а также на многочлены[⇨].

Формулировка

Пусть ,  — целые числа, хотя бы одно из которых не ноль. Тогда существуют такие целые числа , что выполняется соотношение

НОД

Это утверждение называется соотношением Безу (для чисел и ), а также леммой Безу или тождеством Безу[4]. При этом целые числа называются коэффициентами Безу.

Существует также модификация соотношения Безу, ограниченная натуральными числами[5]:

Пусть , — натуральные числа. Тогда существуют такие натуральные числа , что выполняется соотношение

НОД

Примеры

  • НОД Соотношение Безу имеет вид:
    • Возможны и другие варианты разложения НОД, например:

Следствия

Если числа взаимно простые, то уравнение

имеет целочисленные решения[6]. Этот важный факт облегчает решение диофантовых уравнений первого порядка.

НОД является наименьшим натуральным числом, которое может быть представлено в виде линейной комбинации чисел и с целыми коэффициентами[7].

Множество целочисленных линейных комбинаций совпадает с множеством кратных для НОД)[8].

Коэффициенты Безу

Поскольку случай, когда хотя бы одно из чисел равно нулю, тривиален, далее в этом разделе предполагается, что оба эти числа не равны нулю.

Неоднозначность

Нахождение коэффициентов Безу эквивалентно решению диофантового уравнения первого порядка с двумя неизвестными:

где НОД

Или, что то же самое:

Отсюда следует, что коэффициенты Безу определены неоднозначно — если какие-то их значения известны, то всё множество коэффициентов даётся формулой[9]

Ниже будет показано[⇨], что существуют коэффициенты Безу, удовлетворяющие неравенствам и .

Вычисление коэффициентов с помощью алгоритма Евклида

Для нахождения коэффициентов Безу можно использовать расширенный алгоритм Евклида нахождения НОД и представить остатки в виде линейных комбинаций a и b[10]. Шаги алгоритма записываются в следующем виде:

Пример

Найдём соотношение Безу для Формулы алгоритма Евклида имеют вид

Таким образом, НОД. Из этих формул получаем:

В итоге соотношение Безу имеет вид

Вычисление коэффициентов с помощью непрерывных дробей

Альтернативный (по существу эквивалентный) способ решения уравнения использует непрерывные дроби. Разделим обе части уравнения на НОД: . Далее разложим в непрерывную дробь и подсчитаем подходящие дроби . Последняя (-я) из них будет равна и связана с предыдущей обычным соотношением:

Подставив в эту формулу и умножив обе части на , получаем

С точностью до знака, это соотношение Безу. поэтому предпоследняя подходящая дробь даёт модули решения: есть знаменатель этой дроби, а  — числитель. Осталось, исходя из первоначального уравнения, найти знаки ; для этого достаточно найти последние цифры в произведениях [11].

Минимальные пары коэффициентов

Приведённый в предыдущем разделе алгоритм через непрерывные дроби, как и эквивалентный ему алгоритм Евклида, даёт в результате пару , удовлетворяющую неравенствам

Этот факт следует из того, что дроби и , как указано выше, образуют последовательные подходящие дроби, а числитель и знаменатель следующей подходящей дроби всегда больше, чем у предыдущей[11][12]. Для краткости можно назвать такую пару минимальной, таких пар всегда две.

Пример. Пусть . НОД(12, 42) = 6. Ниже приведены некоторые элементы списка пар коэффициентов Безу, причём минимальные пары выделены красным цветом:

Применение

Соотношение Безу часто используется как лемма в ходе доказательства других теорем (например, основной теоремы арифметики[13]), а также для решения диофантовых уравнений и сравнений по модулю.

Решение диофантовых уравнений первой степени

Рассмотрим решение в целых числах диофантовых уравнений вида

Обозначим НОД Очевидно, уравнение имеет целочисленные решения только в том случае, когда делится на . Будем считать это условие выполненным, и одним из приведённых выше алгоритмов найдём коэффициенты Безу :

Тогда решением исходного уравнения будет пара[11] , где .

Решение сравнений первой степени

Для решения сравнений первой степени

его достаточно преобразовать к виду[8]

Практически важным частным случаем является нахождение обратного элемента в кольце вычетов, то есть решение сравнения

Вариации и обобщения

Соотношение Безу легко обобщается на случай, когда имеется более двух чисел[1]:

Пусть , …,  — целые числа, не все равные нулю. Тогда существуют такие целые числа , …, , что выполняется соотношение:

НОД, …, =

Соотношение Безу может иметь место не только для целых чисел, но и в других коммутативных кольцах (например, для гауссовых целых чисел). Такие кольца называются кольцами Безу.

Пример: формулировка для кольца многочленов (от одной переменной):

Пусть  — какое-либо семейство многочленов, и не все они равны нулю. Обозначим их наибольший общий делитель. Тогда существует такое семейство многочленов , что выполняется соотношение:

Коэффициенты Безу для двух многочленов от одной переменной могут быть вычислены аналогично изложенному выше для целых чисел (с помощью расширенного алгоритма Евклида)[14]. Общие корни двух многочленов являются корнями также и их наибольшего общего делителя, поэтому из соотношения Безу и основной теоремы алгебры вытекает следующий результат:

Пусть даны многочлены и с коэффициентами в некотором поле. Тогда многочлены и такие, что , существуют тогда и только тогда, когда и не имеют общих корней ни в каком алгебраически замкнутом поле (обычно в качестве последнего берётся поле комплексных чисел).

Обобщением этого результата на любое количество многочленов и неизвестных является Теорема Гильберта о нулях.

См. также

Примечания

  1. 1 2 Хассе Г., 1953, с. 29.
  2. Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II. — С. 75.
  3. Claude Gaspard Bachet, sieur de Méziriac. Problèmes plaisants et délectables // Problemes plaisans, qui se font par nombres (фр.). — 2nd ed. — Lyons, France: Pierre Rigaud & Associates, 1624. — С. 18—33. Архивировано 13 марта 2012 года.
  4. Jones, G. A., Jones, J. M. §1.2. Bezout's Identity // Elementary Number Theory. — Berlin: Springer-Verlag, 1998. — P. 7—11.
  5. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. — М.: Наука, 1965. — С. 28. — 176 с.
  6. Хассе Г., 1953, с. 33.
  7. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. Учебное пособие для вузов. — Наука, 1984. — С. 9. — 416 с.
  8. 1 2 Bezout's identity. Дата обращения: 25 декабря 2014. Архивировано 25 декабря 2014 года.
  9. Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. — Наука, 1983. — С. 9—10. — 63 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 8).
  10. Егоров Д. Ф. Элементы теории чисел. — Москва—Петроград: Госиздат, 1923. — С. 14. — 202 с.
  11. 1 2 3 Сушкевич А. К. Теория чисел. Элементарный курс. — Харьков: Изд-во Харьковского университета, 1954. — С. 49—51.
  12. Хинчин А. Я. Цепные дроби. — Изд. 3-е. — М.: ГИФМЛ, 1961. — С. 11—12.
  13. См., например: Жиков В. В. Основная теорема арифметики // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6, № 3. — С. 112—117. Архивировано 23 ноября 2018 года.
  14. Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. — М.: Научное изд-во ТВП, 2001. — С. 19. — 259 с. — ISBN 5-94057-103-4.

Литература

Ссылки


Эта страница в последний раз была отредактирована 20 января 2024 в 17:55.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).