Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Континуум-гипотеза
Названо в честь континуум
Первооткрыватель или изобретатель Георг Кантор
Дата открытия 1877
Описывающая закон или теорему формула
Кем решена Курт Гёдель и Пол Коэн

Конти́нуум-гипо́теза (проблема континуума, первая проблема Гильберта) — выдвинутое в 1877 году Георгом Кантором предположение о том, что любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным. Другими словами, гипотеза предполагает, что мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счётного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет. В частности, это предположение означает, что для любого бесконечного множества действительных чисел всегда можно установить взаимно-однозначное соответствие либо между элементами этого множества и множеством целых чисел, либо между элементами этого множества и множеством всех действительных чисел.

Первые попытки доказательства этого утверждения средствами наивной теории множеств не увенчались успехом, в дальнейшем показана невозможность доказать или опровергнуть гипотезу в аксиоматике Цермело — Френкеля (как с аксиомой выбора, так и без неё).

Континуум-гипотеза однозначно доказывается в системе Цермело — Френкеля с аксиомой детерминированности (ZF+AD).

История

Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.

В 1940 году Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC — системе аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора, а в 1963 году Коэн с помощью разработанного им метода форсинга (англ.) доказал, что континуум-гипотеза также недоказуема в ZFC[1]. Оба эти результата опираются на предположение о непротиворечивости ZFC, причём оно является необходимым, так как в противоречивой теории любое утверждение является тривиально доказуемым. Таким образом, континуум-гипотеза является независимой от ZFC.

В предположении отрицания континуум-гипотезы имеет смысл задавать вопрос: для каких ординалов может выполняться равенство ? Ответ на этот вопрос даёт доказанная в 1970 году теорема Истона (англ.).

Эквивалентные формулировки

Известно несколько утверждений, эквивалентных континуум-гипотезе:

  • Прямая может быть раскрашена в счётное количество цветов так, что ни для какой одноцветной четвёрки чисел не выполняется условие [2].
  • Плоскость может быть полностью покрыта счётным семейством кривых, каждая из которых имеет вид (то есть имеет единственную точку пересечения с каждой вертикальной прямой) или (имеет единственную точку пересечения с каждой горизонтальной прямой)[3].
  • Пространство можно разбить на 3 множества так, что они пересекаются с любой прямой, параллельной осям , и , соответственно, лишь в конечном числе точек (каждому множеству соответствует своя ось)[4].
  • Пространство можно разбить на 3 множества так, что для каждого из них существует такая точка , что это множество пересекается с любой прямой, проходящей через , лишь в конечном числе точек[5].

Вариации и обобщения

Обобщённая континуум-гипотеза заключается в предположении, что для любого бесконечного кардинала выполняется равенство или, другими словами, в любом множестве, превосходящем по мощности некоторое бесконечное множество , найдётся подмножество, равномощное булеану [6].

Обобщённая континуум-гипотеза также не противоречит аксиоматике Цермело — Френкеля, и, как показали Серпинский в 1947 году и Шпеккер в 1952 году, из неё следует аксиома выбора.

См. также

Примечания

  1. Пол Дж. Коэн Теория множеств и континуум-гипотеза. — М.: Мир, 1969. — С. 347.
  2. Stephen Fenner, William Gasar. Statement in Combinatorics that is Independent of ZFC (An Exposition) (англ.)
  3. Вацлав Серпинский. Cardinal And Ordinal Numbers. — Warszawa: Polish Scientific Publishers, 1965. (англ.)
  4. Вацлав Серпинский. О теории множеств. — М.: Просвещение, 1966.
  5. http://www.math.wisc.edu/~miller/old/m873-05/setplane.ps
  6. Континуума проблема / А. Г. Драгалин // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

Литература

  • Катин Ю. Е. Из истории проблемы континуума // История и методология естественных наук. — М.: МГУ, 1970. — Вып. 9. — С. 248—261.
  • Манин Ю. И. Проблема континуума // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Новейшие достижения.». — 1975. — № 5. — С. 5—72. — ISSN 0202-747X.
Эта страница в последний раз была отредактирована 24 июня 2021 в 15:12.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).