Контактное число

Контактное число (иногда число Ньютона^[1]^[2], в химии соответствует координационному числу^[2]) — максимальное количество шаров единичного радиуса, которые могут одновременно касаться одного такого же шара в n-мерном евклидовом пространстве (предполагается, что шары не проникают друг в друга, то есть объём пересечения любых двух шаров равен нулю).

Следует отличать контактное число от контактного числа на решётке^[3] — аналогичного параметра для плотнейшей регулярной упаковки шаров. Вычисление контактного числа в общем случае до сих пор является нерешённой математической задачей.

История

В одномерном случае не более двух отрезков единичной длины могут касаться такого же отрезка:

В двумерном случае можно интерпретировать задачу как нахождение максимального числа монет, касающихся центральной. Из рисунка видно, что разместить можно до 6 монет:

Это значит, что $N(2)\geqslant 6$ . С другой стороны, каждая касающаяся окружность отсекает на центральной окружности дугу в 60°, и эти дуги не пересекаются, значит $N(2)\leqslant 360/60=6$ . Видно, что в данном случае оценки сверху и снизу совпали и $N(2)=6$ .

В трёхмерном случае речь идет о шарах. Здесь также легко построить пример с 12 шарами, касающимися центрального — они расположены в вершинах икосаэдра — поэтому $N(3)\geqslant 12$ . Данная нижняя оценка была известна ещё Ньютону.

Это расположение неплотное, между шарами будут довольно заметные зазоры. Оценка сверху стала причиной известного спора между Ньютоном и Д. Грегори в 1694 году. Ньютон утверждал, что $N(3)=12$ , а Грегори возражал, что может быть можно расположить и 13 шаров. Он провёл вычисления и выяснил, что площадь центрального шара более чем в 14 раз больше площади проекции каждого из касающихся шаров, так что $N(3)\leqslant 14$ . Если позволить менять радиусы шаров на 2 %, то оказывается возможным прислонить до 14 шаров.

Лишь в 1953 году в статье Шютте и ван дер Вардена^[4] была окончательно установлена правота Ньютона, несмотря на отсутствие у того строгого доказательства.

В четырёхмерном случае представить себе шары достаточно сложно. Размещение 24 четырёхмерных сфер вокруг центральной было известно давно^{[источник не указан 3358 дней]}, оно столь же регулярное, как и в двумерном случае, и решает одновременно и задачу о контактном числе на решётке. Это то же размещение, что у целых единичных кватернионов.

В явном виде это расположение было указано в 1900 году Госсетом^[5]. Ещё раньше оно было найдено (в эквивалентной задаче) в 1872 году российскими математиками Коркиным и Золотарёвым^[6]^[7]. Это расположение дало оценку снизу $N(4)\geqslant 24$ .

Попытки оценить это число сверху привели к развитию тонких методов теории функций, но не давали точного результата. Сначала удалось доказать, что $N(4)\leqslant 26$ , потом удалось снизить верхнюю границу до $N(4)\leqslant 25$ . И наконец в 2003 году российскому математику Олегу Мусину удалось доказать, что $N(4)=24$ ^[8].

В размерностях 8 и 24 точная оценка была получена в 1970-е годы^[9]^[10]. Доказательство основано на равенстве контактного числа и контактного числа на решётке в этих размерностях: решётки E8 (для размерности 8) и решётки Лича (для размерности 24).

Известные значения и оценки

В настоящее время точные значения контактных чисел известны только для $n\leq 4$ , а также для $n=8$ и $n=24$ . Для некоторых других значений известны верхние и нижние оценки.

Размерность	Нижняя граница	Верхняя граница
1	2
2	6
3	12
4	24^[8]
5	40	44^[11]
6	72	78^[11]
7	126	134^[11]
8	240
9	306	364^[11]
10	510^[12]	554
11	592^[12]	870
12	840	1 357
13	1 154^[13]	2 069
14	1 932^[12]	3 183
15	2 564	4 866
16	4 320	7 355
17	5 346	11 072
18	7 398	16 572^[11]
19	10 688	24 812^[11]
20	17 400	36 764^[11]
21	27 720	54 584^[11]
22	49 896	82 340
23	93 150	124 416
24	196 560

Приложения

Задача имеет практическое применение в теории кодирования. В 1948 году Клод Шеннон опубликовал работу по теории информации, показывающую возможность передачи данных без ошибок в зашумленных каналах связи используя координаты упаковки единичных сфер в n-мерном пространстве. См. также Расстояние Хэмминга.

См. также

Примечания

↑ Яглом, И. М. Проблема тринадцати шаров. — Киев: Вища школа, 1975. — 84 с. Архивировано 28 июня 2020 года.
↑ ¹ ² Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решётки и группы. — М.: Мир, 1990. — Т. 1. — 415 с. — ISBN 5-03-002368-2. Архивировано 6 октября 2014 года. Архивированная копия (неопр.). Дата обращения: 29 мая 2011. Архивировано 6 октября 2014 года.
↑ Контактные числа на решётках: последовательность A001116 в OEIS
↑ Schütte, K. and van der Waerden, B. L. Das Problem der dreizehn Kugeln (неопр.) // Math. Ann.. — 1953. — Т. 125, № 1. — С. 325—334. — doi:10.1007/BF01343127.
↑ Gosset, Thorold. On the regular and semi-regular figures in space of n dimensions (англ.) // Messenger of Mathematics (англ.) (рус. : journal. — 1900. — Vol. 29. — P. 43—48.
↑ Korkine A., Zolotareff G. Sur les formes quadratiques positives quaternaires (неопр.) // Math. Ann.. — 1872. — Т. 5, № 4. — С. 581—583. — doi:10.1007/BF01442912. Рус. пер.: Золотарёв Е. И. Полн. собр. соч. — Л.: Изд-во АН СССР, 1931. — С. 66—68.
↑ Н. Н. Андреев, В. А. Юдин. Арфиметический минимум квадратичной формы и сферические коды // Математическое просвещение. — 1998. — № 2. — С. 133—140. Архивировано 3 марта 2022 года.
↑ ¹ ² Мусин О. Р. Проблема двадцати пяти сфер (рус.) // Успехи математических наук. — Российская академия наук, 2003. — Т. 58, № 4(352). — С. 153—154.
↑ Левенштейн В. И. О границах для упаковок в n-мерном евклидовом пространстве // ДАН СССР. — 1979. — Т. 245. — С. 1299—1303.
↑ A. M. Odlyzko, N. J. A. Sloane. New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit sphere in n dimensions (англ.) // J. Combin. Theory Ser. A : journal. — 1979. — Vol. 26. — P. 210—214. — doi:10.1016/0097-3165(79)90074-8.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ Hans D. Mittelmann and Frank Vallentin. [http://arxiv.org/abs/0902.1105 High-Accuracy Semidefinite Programming Bounds for Kissing Numbers] // Experimental Mathematics. — 2010. — Т. 19, № 2. — С. 174—178. Архивировано 11 августа 2020 года.
↑ ¹ ² ³ Mikhail Ganzhinov. Highly symmetric lines // arXiv:2207.08266 [math]. — 2022-07-17. Архивировано 30 марта 2023 года.
↑ В. А. Зиновьев, Т. Эриксон. Новые нижние оценки на контактное число для небольших размерностей // Пробл. передачи информ.. — 1999. — Т. 35, № 4. — С. 3—11.

Ссылки

Контактное число шаров и сферические коды. Математические этюды.
Шарыгин, Г. И. Контактные числа и проблема тринадцати шаров // Математика. — Издательский дом «Первое сентября», 2007. — № 9 (623).
Шарыгин, Г. И. Контактные числа и проблема тринадцати шаров // Потенциал. — 2009. — № 6.
Арестов В. В., Бабенко А. Г. О схеме Дельсарта оценки контактных чисел // Труды Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. — 1997. — Т. 219. — С. 44—73.

Эта страница в последний раз была отредактирована 5 октября 2023 в 19:49.

Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.

Из Википедии — свободной энциклопедии

Энциклопедичный YouTube

Субтитры

Содержание