Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Альтернативы
Недавние
Show all languages
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Конечномерное пространство

Из Википедии — свободной энциклопедии

Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.

Базис — это (одновременно) и минимальная порождающая (полная) система, и максимальная линейно независимая система векторов. Все базисы содержат одно и то же количество элементов, которое называется размерностью векторного пространства.

Конечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение его элементов называется евклидовым. Конечномерное пространство, в котором введена норма его элементов называется конечномерным нормированным. Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве метрику.

Свойства конечномерных пространств

Всякий элемент конечномерного пространства представим единственным образом в виде

где  — поле (часто или ), над которым рассматривается пространство ,  — элементы базиса. Это следует из определения базиса.

Также любой базис в евклидовом пространстве можно сделать ортонормированным при помощи ортогонализации Шмидта.

  • Все базисы конечномерного пространства состоят из одинакового количества элементов. Это свойство даёт корректность определения размерности пространства.
  • Пусть  — конечномерное пространство и  — линейно-независимая система элементов. Тогда эту систему всегда можно дополнить до базиса.
  • Все конечномерные пространства одинаковой размерности изоморфны друг другу.
  • В любом конечномерном пространстве над полем можно ввести скалярное произведение. Например, в пространстве с фиксированным базисом, размерности , можно ввести скалярное произведение по правилу:
    , где  — компоненты векторов и соответственно.
    Из этого свойства следует, что в конечномерном пространстве над полем можно ввести норму и метрику. Как следствие, можно получить что:
    •  — рефлексивное пространство[1].
    • Пространство , сопряжённое к некоторому конечномерному пространству , конечномерно и его размерность совпадает с размерностью .
    • Для любого подпространства конечномерного пространства существует подпространство [2] такое, что и разлагается в прямую сумму и , .
  • В евклидовом пространстве каждая слабо сходящаяся последовательность сходится сильно.
  • Все нормы в конечномерном пространстве над полем эквивалентны. Сходимость в евклидовом пространстве эквивалентна покоординатной сходимости.
  • Каждый линейный непрерывный оператор в конечномерном пространстве можно представить в виде матрицы.
  • Пространство над полем является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный оператор является вполне непрерывным.
  • Пространство является конечномерным тогда и только тогда, когда найдется действующий над обратимый вполне непрерывный оператор.
  • Пространство является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный шар в предкомпактен. Это свойство можно переформулировать следующим образом: пространство является конечномерным тогда и только тогда, когда любое ограниченное в множество предкомпактно.
  • Всякий линейный оператор , определённый в конечномерном пространстве является непрерывным и даже вполне непрерывным.
  • В конечномерном пространстве, каждый оператор является унитарным тогда и только тогда, когда он изометрический, то есть сохраняет скалярное произведение.

Примеры

Более общий случай — пространства размерности n. Норму в них обычно задают одним из следующих способов ():

или

Если ввести норму и скалярное произведение то пространство будет евклидовым.

  •  — пространство всех многочленов степени не выше . Размерность этого пространства . Многочлены образуют в нём базис.
  • Пусть  — произвольное линейное пространство и пусть некоторая линейно-независимая система векторов. Тогда линейная оболочка, натянутая на эту систему есть конечномерное пространство.

См. также

Примечания

  1. Это факт можно получить как при помощи теоремы Рисса-Фреше, так и прямыми выкладками, без использования теории гильбертовых пространств.
  2. часто называют ортогональным дополнением к

Литература

Эта страница в последний раз была отредактирована 7 мая 2021 в 13:07.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).