Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Определение

Пусть есть векторное пространство над полем и — базис в .

Функция называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

где , а — некоторые элементы поля .

Связанные определения и свойства

  • Матрицу называют матрицей квадратичной формы в данном базисе. В случае, если характеристика поля не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть . Так, например, квадратичную форму от двух переменных обычно записывают в виде
.
  • При замене базиса (т.е. невырожденной линейной замене переменных ) с матрицей замены матрица квадратичной формы изменяется по формуле
где — матрица квадратичной формы в новом базисе.
  • Из формулы следует, что определитель матрицы квадратичной формы не является её инвариантом (т.е. не сохраняется при замене базиса, в отличие, например, от матрицы линейного отображения), но её ранг — является. Таким образом, определено понятие ранга квадратичной формы.
  • Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг , то квадратичную форму называют невырожденной, в противном случае — вырожденной.
  • Для любой квадратичной формы существует единственная симметричная билинейная форма , такая, что . Билинейную форму называют полярной к , если она может быть вычислена по формуле
  • Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

Знакоопределённые и знакопеременные формы

В случае, когда (поле вещественных чисел), важную роль, в том числе, для различных приложений, играют понятия положительно и отрицательно определённой квадратичной формы.

  • Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого выполнено неравенство . Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
  • Квадратичная форма называется знакопеременной (индефинитными), если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
  • Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если для любого .

Для решения вопроса о том, является ли данная квадратичная форма положительно (отрицательно) определённой, используется критерий Сильвестра:

  • Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
  • Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

Канонический вид

Вещественный случай

В случае, когда (поле вещественных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид, то есть содержит только квадраты переменных:

где  — ранг квадратичной формы. . В этом случае коэффициенты называются каноническими коэффициентами. В случае невырожденной квадратичной формы , а в случае вырожденной — .

Существует также нормальный вид квадратичной формы: .

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используются метод Лагранжа или ортогональные преобразования базиса, причем привести данную квадратичную форму к каноническому виду можно не одним, а многими способами.

Число (отрицательных членов) называется индексом инерции данной квадратичной формы, а число (разность между числом положительных и отрицательных членов) называется сигнатурой квадратичной формы. Отметим, что иногда сигнатурой квадратичной формы называют пару . Числа являются инвариантами квадратичной формы, то есть не зависят от способа её приведения к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Комплексный случай

В случае, когда (поле комплексных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором форма имеет канонический вид

где  — ранг квадратичной формы. Таким образом, в комплексном случае (в отличие от вещественного) квадратичная форма имеет один единственный инвариант — ранг, и все невырожденные формы имеют один и тот же канонический вид (сумма квадратов).

Примеры

  • Скалярное произведение векторов — симметричная билинейная функция. Соответствующая квадратичная форма является положительно определённой, она сопоставляет вектору квадрат его длины.
  • Квадратичная форма на плоскости (вектор имеет две координаты: и ) является знакопеременной, она приводится к каноническому виду с помощью линейной замены .

См. также

Примечания

Литература

Эта страница в последний раз была отредактирована 25 сентября 2021 в 18:34.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).