Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Касательное пространство

Из Википедии — свободной энциклопедии

Касательное пространство  T x M {\displaystyle \scriptstyle T_{x}M}  и касательный вектор  v ∈ T x M {\displaystyle \scriptstyle v\in T_{x}M} , вдоль кривой  γ ( t ) {\displaystyle \scriptstyle \gamma (t)} , проходящей через точку  x ∈ M {\displaystyle \scriptstyle x\in M}
Касательное пространство и касательный вектор , вдоль кривой , проходящей через точку

Касательное пространство к гладкому многообразию в точке — совокупность касательных векторов с введённой на ней естественной структурой векторного пространства. Касательное пространство к в точке обычно обозначается или — когда очевидно, о каком многообразии идёт речь — просто .

Совокупность касательных пространств во всех точках многообразия (вместе с самим многообразием) образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением. Соответственно, каждое касательное пространство есть слой касательного расслоения.

Касательное пространство в точке к подмногообразию определяется аналогично.

В простейшем случае, когда гладкое многообразие гладко вложено в векторное пространство (что возможно всегда, согласно Теореме Уитни о вложении), каждое касательное пространство можно естественно отождествить с некоторым афинным подпространством объемлющего векторного пространства.

Определения

Есть два стандартных определения касательного пространства: через класс эквивалентности гладких кривых и через дифференцирование в точке. Первое интуитивно проще, но на этом пути возникает ряд технических сложностей. Второе является наиболее простым, хотя уровень абстракции в нём выше. Второе определение также легче применять на практике.

Как класс эквивалентности гладких кривых

Пусть — гладкое многообразие и . Рассмотрим класс гладких кривых таких, что . Введём на отношение эквивалентности: если

в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей .

Элементы касательного пространства определяются как -классы эквивалентности ; то есть

.

В карте такой, что соответствует началу координат, кривые из можно складывать и умножать на число следующим образом

При этом результат остаётся в .

Эти операции продолжаются до классов эквивалентности . Более того, индуцированные на операции уже не зависят от выбора карты. Так на определяется структура векторного пространства.

Через дифференцирование в точке

Пусть -гладкое многообразие. Тогда касательным пространством к многообразию в точке называется пространство дифференцирований в этой точке, то есть пространство операторов сопоставляющих каждой гладкой функции число и удовлетворяющих следующим двум условиям:

  • -линейность:
  • правило Лейбница:

На множестве всех дифференцирований в точке возникает естественная структура линейного пространства:

Замечания

  • В случае -гладких многообразий, в определении через дифференцирование следует добавить ещё одно свойство
    если
в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей .
  • В противном случае это определение даст бесконечномерное пространство, включающее касательное пространство. Это пространство иногда называется алгебраическим касательным пространством. См. ниже.
  • Пусть . Тогда правило Лейбница и условие линейности оператора выполняются для . Это позволяет идентифицировать касательные пространства, получаемые в первом и во втором определениях.

Свойства

  • Касательное пространство -мерного гладкого многообразия является -мерным векторным пространством
  • Для выбранной локальной карты , операторы дифференцирования по :
представляют собой базис , называемый голономным базисом.

Связанные определения

  • Контактным элементом к многообразию в некоторой точке называется любая гиперплоскость касательного пространства в этой точке.

Вариации и обобщения

Алгебраическое касательное пространство

Алгебраическое касательное пространство возникает, когда мы в определении касательного вектора отказываемся от дополнительного требования, озвученного в замечании выше (что, впрочем, имеет значение только для -дифференцируемых многообразий, ). Его определение обобщается на любое локально окольцованное пространство (в частности, на любое алгебраическое многообразие).

Пусть -дифференцируемое многообразие, кольцо дифференцируемых функций из в . Рассмотрим кольцо ростков функций в точке и каноническую проекцию . Обозначим через ядро гомоморфизма колец . Введем на структуру вещественной алгебры с помощью инъективного гомоморфизма , и будем далее отождествлять и . Имеет место равенство [1]. Обозначим через подалгебру , состояющую из всех ростков, представители которых имеют нулевые дифференциалы в точке в каждой карте; обозначим . Заметим, что .

Рассмотрим два векторных пространства:

  •  — это пространство имеет размерность и совпадает с определённым ранее касательным пространством к в точке ,
  •  — это пространство изоморфно пространству дифференцирований со значениями в , его называют алгебраическим касательным пространством[2] в точке .

Если , то имеет размерность континуум, а содержит как нетривиальное подпространство; в случае или эти пространства совпадают (и )[3]. В обоих случаях можно отождествлять с (под)пространством дифференцирований со значениями в , для вектора формула задаёт инъективный гомоморфизм в пространство дифференцирований со значениями в (структура вещественной алгебры на задается аналогично ). При этом в случае получается в точности определение, данное выше.

См. также

Примечания

  1. Ж.-П. Серр, Алгебры Ли и Группы Ли, М.: Мир, 1969.
  2. Laird E. Taylor, The Tangent Space to a Manifold, Bulletin of AMS, vol. 79, no. 4, July 1973.
  3. JE Marsden, T Ratiu, R Abraham, Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, Addison-Wesley Pub. Co., 1983.
Эта страница в последний раз была отредактирована 9 августа 2019 в 12:30.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).