Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Измери́мые функции представляют естественный класс функций, связывающих пространства с выделенными алгебрами множеств, в частности измеримыми пространствами.

Определение

Пусть и — два множества с выделенными алгебрами подмножеств. Тогда функция называется -измеримой, или просто измеримой, если прообраз любого множества из принадлежит , то есть

где означает прообраз множества .

Замечания

  • Если и топологические пространства, и алгебры и явно не указаны, то предполагается, что это борелевские σ-алгебры соответствующих пространств.
  • Смысл данного определения в том, что если на множестве задана мера, то данная функция индуцирует (передаёт) эту меру и на множество .

Вещественнозначные измеримые функции

Пусть дана функция . Тогда данное выше определение измеримости эквивалентно любому из нижеследующих:

  • Функция измерима, если
    .
  • Функция измерима, если
    , таких что , имеем ,
где обозначает любой интервал, открытый, полуоткрытый или замкнутый.

Связанные определения

  • Пусть и — две копии вещественной прямой вместе с её борелевской σ-алгеброй. Тогда измеримая функция называется борелевской.
  • Измеримая функция , где множество элементарных исходов, а — σ-алгебра случайных событий, называется случайным элементом. Частным случаем случайного элемента является случайная величина, для которой .

Примеры

  • Пусть непрерывная функция. Тогда она измерима относительно борелевской σ-алгебры на числовой прямой.
  • Пусть и индикатор множества Тогда функция не является измеримой.

Свойства

  • Теорема Лузина. Функция измерима тогда и только тогда, когда для любого существует непрерывная функция отличающаяся от на множестве меры не больше .

История

В 1901 году французский математик А. Лебег, на основе построенной им теории интеграла Лебега, поставил задачу: найти класс функций, более широкий, чем аналитические, однако при этом допускающий применение к нему многих аналитических методов. К этому времени уже существовала общая теория меры, разработанная Э. Борелем (1898), и первые работы Лебега опирались на борелевскую теорию. В диссертации Лебега (1902) теория меры была обобщена до так называемой меры Лебега. Лебег определил понятия измеримых множеств, ограниченных измеримых функций и интегралов для них, доказал, что все «обычные» ограниченные функции, исследуемые в анализе, измеримы, и что класс измеримых функций замкнут относительно основных аналитических операций, включая операцию предельного перехода. В 1904 году Лебег обобщил свою теорию, сняв условие ограниченности функции.

Исследования Лебега нашли широкий научный отклик, их продолжили и развили многие математики: Э Борель, М. Рис, Дж. Витали, М. Р. Фреше, Н. Н. Лузин, Д. Ф. Егоров и др. Было введено понятие сходимости по мере (1909), глубоко исследованы топологические свойства класса измеримых функций.

Труды Лебега имели ещё одно важное концептуальное значение: они были полностью основаны на спорной в те годы канторовской теории множеств, и плодотворность лебеговской теории послужила веским аргументом для принятия теории множеств как фундамента математики.

Литература

Эта страница в последний раз была отредактирована 14 ноября 2021 в 10:18.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).