Задача о стопке кирпичей

Задача о стопке кирпичей — задача статики, заключающаяся в укладке прямоугольных блоков в башню, как можно дальше выдающуюся в сторону.

Формулировка

Проблема формулируется так:

Поставить друг на друга ${\displaystyle N}$ одинаковых твёрдых прямоугольных параллелепипедов, собрав устойчивую башню на краю стола таким образом, чтобы выступ за край был максимален.

История

Задача о стопке кирпичей имеет долгую историю как в механике, так и в математике. В своих статьях Майк Патерсон (англ. Mike Paterson) и его соавторы приводят^[1] длинный список ссылок на эту задачу, о которой говорится в работах по механике, относящихся к середине девятнадцатого века.

Решения

С только одним блоком на каждом уровне

В идеальном случае с только одним идеально прямоугольным блоком на каждом уровне свес равен ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2i}}}$ ширины блока^[2]. Эта сумма составляет половину частичной суммы гармонического ряда. Поскольку гармонический ряд расходится, максимальный свес стремится к бесконечности с ростом ${\displaystyle N}$, т.е. можно достичь любого сколь угодно большого свеса при достаточном количестве блоков. В каждом конкретном случае максимальный свес приблизительно равен ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln N}$, т.е. пропорционален натуральному логарифму числа блоков.

С несколькими блоками на любом из уровней

Дополнительные блоки на уровне могут использоваться как противовес и давать бо́льшие свесы, чем вариант с одним блоком на уровне. Даже для трех блоков укладка двух уравновешенных блоков поверх другого блока может дать свес в один блок, в то время как в простом идеальном случае — не более ${\displaystyle {\frac {11}{12}}}$. В 2007 году Майк Патерсон с соавторами показали^[1], что максимальный свес, который может быть достигнут с помощью нескольких блоков на уровне, асимптотически равен ${\displaystyle c{\sqrt[{3}]{N}}}$, то есть пропорционален кубическому корню из числа блоков, в отличие от простого случая, когда свес пропорционален логарифму количества блоков.

См. также

• Черви Патерсона

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Book Stacking Problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Building an Infinite Bridge  (неопр.). PBS Infinite Series (4 мая 2017). Дата обращения: 3 сентября 2018.
• Mike Paterson, Yuval Peres, Mikkel Thorup, Peter Winkler, and Uri Zwick. Maximum Overhang // American Mathematical Monthly. — 2009. — Vol. 116. — P. 763–787.

Эта страница в последний раз была отредактирована 30 марта 2024 в 12:05.