Единичная матрица

Едини́чная ма́трица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Определение

Квадратная матрица ${\displaystyle E_{n}=(e_{ij})}$ размера (порядка) ${\displaystyle n}$, где ${\displaystyle e_{ii}=1}$ для всякого ${\displaystyle i\in {\overline {1,n}}}$, и ${\displaystyle e_{ij}=0}$ для всяких ${\displaystyle i\neq j}$, называется единичной матрицей порядка ${\displaystyle n}$^[1].

Единичную матрицу можно также определить как матрицу ${\displaystyle (e_{ij})}$, у которой ${\displaystyle e_{ij}=\delta _{ij}}$, где ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — символ Кронекера^[1].

Единичная матрица является частным случаем скалярной матрицы.

Обозначение

Единичная матрица размера ${\displaystyle n\times n}$ обычно обозначается ${\displaystyle E_{n}}$ и имеет вид:

${\displaystyle E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}},}$

Так же используется и другое обозначение: ${\displaystyle I_{n}}$.

Если из контекста ясно, какого размера матрица, то нижний индекс (указывающий порядок) опускается: ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle I}$^[1].

Свойства

• Произведение любой матрицы и единичной матрицы подходящего размера равно самой матрице^[1]:

${\displaystyle AE=EA=A}$

• Квадратная матрица в нулевой степени дает единичную матрицу того же размера^[1]:

${\displaystyle A^{0}=E}$

• При умножении матрицы на обратную ей, тоже получается единичная матрица^[2]:

${\displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=E}$

• Единичная матрица получается при умножении ортогональной матрицы на её транспонированную матрицу^[3]:

${\displaystyle AA^{T}=E}$

• Определитель единичной матрицы равен единице:

${\displaystyle \mathrm {det} \,E=1}$.

Примеры

Единичные матрицы первых порядков имеют вид

${\displaystyle E_{1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}},\ E_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\ E_{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Примечания

Литература

• Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц. — 2-е изд., доп.. — М.: Наука, 1966. — 576 с.
• См. список литературы по линейной алгебре

См. также

• Нулевая матрица

Эта страница в последний раз была отредактирована 21 июля 2022 в 11:59.