Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.
Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.
Как перевоплотить Википедию
Хотите, чтобы Википедия всегда выглядела так профессионально и современно? Мы создали расширение для браузера. Оно совершенствует любую страницу энциклопедии, которую вы посетите, с помощью магических технологий WIKI 2.
Попробуйте — вы его можете удалить в любой момент.
Установить за 5 сек.
Да-да, но позже
4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Дифференциальные уравнения находят широчайшее применение в различных областях науки и техники. Они возникают при решении задач, когда устанавливается взаимосвязь между функцией от переменной и её производными.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка следующего вида
где и — известные функции от , причём считаем, что функция отлична от . Такого вида уравнение называют уравнением Лагранжа. Оно является линейным относительно переменных и .
Такое дифференциальное уравнение приходится решать, как говорят, методом введения вспомогательного параметра. Найдём его общее решение, введя параметр .
Тогда уравнение можно записать в виде:
Уже сейчас из этого уравнения можно найти некоторые решения, если заметить, что оно обращается в верное равенство при всяком постоянном значении , удовлетворяющему условию . В самом деле, при любом постоянном значении
, производная тождественно обращается в нуль и тогда обе части уравнения можно приравнять к нулю.
Решение, соответствующее каждому значению , то есть,
, является линейной функцией от , поскольку
производная , постоянна только у линейных функций. Чтобы найти эту функцию, достаточно подставить в равенство значение , то есть
.
Если окажется, что это решение не получается из общего ни при каком значении произвольной постоянной, то оно будет являться особым решением.
Найдём теперь общее решение. Для этого запишем уравнение в виде
и будем считать , как функцию от . Тогда полученное уравнение есть не что иное как линейное дифференциальное уравнение относительно функции от . Решая его, найдём
Исключая параметр из уравнений и найдём общий интеграл уравнения в виде
.
Дифференциальное уравнение Клеро
Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида
Такое уравнение носит название уравнения Клеро.
Легко видеть, что уравнение Клеро — частный случай уравнения Лагранжа, когда . Интегрируется оно так же путём введения вспомогательного параметра.
Положим . Тогда
Продифференцируем это уравнение по , так же, как это делали с уравнением Лагранжа, замечая, что , пишем
Преобразуем его к виду
Приравнивая каждый множитель к нулю, получим
и
Интегрируя уравнение получим . Подставим значение в уравнение найдём его общий интеграл
С геометрической точки зрения, этот интеграл представляет собой семейство прямых линий. Если из уравнения найдём как функцию от , затем подставим её в уравнение , то получим функцию
Которая, как легко показать, является решением уравнения . Действительно, в силу равенства находим
Но поскольку , то .
Поэтому подставляя функцию в уравнение , получаем тождество
.
Решение не получается из общего интеграла ни при каком значении произвольной постоянной . Это решение — есть особое решение, которое получается вследствие исключения параметра из уравнений
и
или, что без разницы, исключением из уравнений
и
Следовательно, особое решение уравнения Клеро определяет огибающую семейства прямых, заданных
общим интегралом .
Приложения уравнения Клеро.
К уравнению Клеро приводят геометрические задачи, где требуется определить кривую, по заданному свойству её касательной, причём это свойство должно относиться к самой касательной, а не к точке касания. В самом деле, уравнение касательной имеет вид
или
Любое свойство касательной выражается соотношением между и :
Решая его относительно , придём к уравнению вида
, то есть ни к чему иному, как к уравнению Клеро.
Литература
В. И. Смирнов «Курс высшей математики», том второй, издательство «Наука», Москва 1974.
Н. С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисление», том второй, издательство «Наука», Москва 1985
К. Н. Лунгу, В. П. Норин и др. «Сборник задач по высшей математике», второй курс, Москва: Айрис-пресс, 2007