Тензор Римана удовлетворяет следующему тождеству:
которое называется дифференциальным тождеством Бьянки (или вторым тождеством Бьянки) в дифференциальной геометрии.
Доказательство с использованием специальной системы координат
Выберем на многообразии какую-то одну произвольную точку и докажем равенство (1) в этой точке. Поскольку точка произвольная, то отсюда будет следовать справедливость тождества (1) на всём многообразии.
В точке мы можем выбрать такую специальную систему координат, что все символы Кристоффеля (но не их производные) превращаются в ноль в этой точке. Тогда для ковариантных производных в точке имеем
Поскольку
то в точке имеем
Циклически переставляя в (4) индексы , получим ещё два равенства:
Легко видеть, что при сложении равенств (4), (5) и (6) в левой части уравнения получится левая часть выражения (1), а в правой, учтя коммутативность частных производных, все слагаемые взаимно уничтожаются, и мы получим ноль.
См. также
Эта страница в последний раз была отредактирована 5 августа 2022 в 13:31.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.