Дебаевская длина

Деба́евская длина (дебаевский радиус) — расстояние, на которое распространяется действие электрического поля отдельного заряда в квазинейтральной среде, содержащей свободные положительно и отрицательно заряженные частицы (плазма, электролиты). Вне сферы радиуса дебаевской длины электрическое поле экранируется в результате поляризации окружающей среды (поэтому это явление ещё называют экранировкой Дебая).

Дебаевская длина определяется формулой

${\displaystyle \lambda _{\text{D}}=\left\{\sum _{j}{\frac {4\pi q_{j}^{2}n_{j}}{\varepsilon _{r}kT_{j}}}\right\}^{-1/2}}$ (СГС),

${\displaystyle \lambda _{\text{D}}=\left\{\sum _{j}{\frac {q_{j}^{2}n_{j}}{\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}kT_{j}}}\right\}^{-1/2}}$ (СИ),

где ${\displaystyle q_{j}}$ — электрический заряд, ${\displaystyle n_{j}}$ — концентрация частиц, ${\displaystyle T_{j}}$ — температура частиц типа ${\displaystyle j}$, ${\displaystyle k}$ — постоянная Больцмана, ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ — диэлектрическая проницаемость вакуума, ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ — диэлектрическая проницаемость. Суммирование идёт по всем сортам частиц, при этом должно выполняться условие нейтральности ${\displaystyle \sum _{j}q_{j}n_{j}=0}$. Важным параметром среды является число частиц в сфере радиуса дебаевской длины:

${\displaystyle n_{\text{D}}={\frac {4\pi }{3}}\lambda _{\text{D}}^{3}\sum _{j}n_{j}.}$

Оно характеризует отношение средней кинетической энергии частиц к средней энергии их кулоновского взаимодействия:

${\displaystyle n_{\text{D}}\thicksim (E_{\text{kinetic}}/E_{\text{coulomb}})^{3/2}.}$

Для электролитов это число мало́ (${\displaystyle n_{D}\thicksim 10^{-4}}$). Для плазмы, находящейся в самых различных физических условиях, — велико. Это позволяет использовать методы физической кинетики для описания плазмы.

Понятие дебаевской длины введено Петером Дебаем в связи с изучением явлений электролиза.

Физический смысл

В системе из ${\displaystyle N}$ различных типов частиц частицы ${\displaystyle j}$-й разновидности переносят заряд ${\displaystyle q_{j}}$ и имеют концентрацию ${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )}$ в точке ${\displaystyle \mathbf {r} }$. В первом приближении эти заряды можно рассматривать как непрерывную среду, характеризующуюся только своей диэлектрической проницаемостью ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$. Распределение зарядов в такой среде создаёт электрическое поле с потенциалом ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$, удовлетворяющим уравнению Пуассона:

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}q_{j}\,n_{j}(\mathbf {r} ),}$

где ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ — диэлектрическая постоянная.

Подвижные заряды не только создают потенциал ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$, но также движутся под действием кулоновской силы ${\displaystyle -q_{j}\,\nabla \Phi (\mathbf {r} )}$. В дальнейшем будем считать, что система находится в термодинамическом равновесии с термостатом с температурой ${\displaystyle T}$, тогда концентрации зарядов ${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )}$ могут быть рассмотрены как термодинамические величины, а соответствующий электрический потенциал — как соответствующий самосогласованному полю. В этих допущениях концентрация ${\displaystyle j}$-й разновидности частиц описывается Больцмановским распределением:

${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )=n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{kT}}\right),}$

где ${\displaystyle n_{j}^{0}}$ средняя концентрация зарядов типа ${\displaystyle j}$. Взяв в уравнении Пуассона вместо мгновенных значений концентрации и поля их усреднённые значения, получаем уравнение Пуассона — Больцмана:

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}q_{j}n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{kT}}\right).}$

Решения этого нелинейного уравнения известны для некоторых простых систем. Более общее решение может быть получено в пределе слабой связи (${\displaystyle q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )\ll kT}$) разложением экспоненты в ряд Тейлора:

${\displaystyle \exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{kT}}\right)\approx 1-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{kT}}.}$

В результате чего получается линеаризованное уравнение Пуассона — Больцмана

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{N}{\frac {n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}\,kT}}\right)\Phi (\mathbf {r} )-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}q_{j},}$

также известное как уравнение Дебая — Хюккеля.^{[1][2][3][4][5]} Второе слагаемое в правой части уравнения исчезает в случае электронейтральности системы. Слагаемое в скобках имеет размерность обратного квадрата длины, что естественным образом приводит нас к определению характерной длины

${\displaystyle \lambda _{\text{D}}=\left({\frac {\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}\,kT}{\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}}\right)^{1/2},}$

обычно называемой дебаевским радиусом (или дебаевской длиной). Все типы зарядов вносят положительный вклад в дебаевскую длину вне зависимости от их знака.

Некоторые значения дебаевских длин

(Источник: Глава 19: The Particle Kinetics of Plasma)

См. также

• Двойной электрический слой

Ссылки

Литература

• Арцимович Л. А. Элементарная физика плазмы. — 3-е изд. — М.: Атомиздат, 1969. — 189 с.
• Котельников И. А. Лекции по физике плазмы. Том 1: Основы физики плазмы. — 3-е изд. — СПб.: Лань, 2021. — 400 с. — ISBN 978-5-8114-6958-1.

Эта страница в последний раз была отредактирована 11 августа 2023 в 20:32.