Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Гравитационная задача N тел

Из Википедии — свободной энциклопедии

Гравитацио́нная зада́ча N тел является классической проблемой небесной механики и гравитационной динамики Ньютона.

Она формулируется следующим образом.

В пустоте находится N материальных точек, массы которых известны {mi}. Пусть попарное взаимодействие точек подчинено закону тяготения Ньютона, и пусть силы гравитации аддитивны. Пусть известны начальные на момент времени t=0 положения и скорости каждой точки ri|t =0 = ri0, vi|t =0 = vi0. Требуется найти положения точек для всех последующих моментов времени.

Энциклопедичный YouTube

  • 1/5
    Просмотров:
    1 445
    3 381
    112 386
    8 630
    3 093
  • ✪ О задаче трех тел
  • ✪ 🔴 ВСЕ ЗАДАНИЯ 20 ИЗ ОТКРЫТОГО БАНКА | ОГЭ 2017 | ШКОЛА ПИФАГОРА
  • ✪ Bird migration, a perilous journey - Alyssa Klavans
  • ✪ Лончер в стиле Андроид 6.0
  • ✪ Введение в закон всемирного тяготения Ньютона

Субтитры

Содержание

Математическая формулировка гравитационной задачи N тел

Эволюция системы N гравитирующих тел (материальных точек) описывается следующей системой уравнений:

где  — масса, радиус-вектор и скорость i-го тела соответственно (i изменяется от 1 до N), G — гравитационная постоянная. Массы тел, а также положения и скорости в начальный момент времени считаются известными. Необходимо найти положения и скорости всех частиц в произвольный момент времени.

Аналитическое решение

Траектории двух тел разной массы, пребывающих в гравитационном взаимодействии друг с другом
Траектории двух тел разной массы, пребывающих в гравитационном взаимодействии друг с другом
Приблизительные траектории трёх одинаковых тел, находившихся в вершинах неравнобедренного треугольника и обладавших нулевыми начальными скоростями
Приблизительные траектории трёх одинаковых тел, находившихся в вершинах неравнобедренного треугольника и обладавших нулевыми начальными скоростями

Случай уединённой точки не является предметом рассмотрения гравитационной динамики. Поведение такой точки описывается первым законом Ньютона. Гравитационное взаимодействие — это, как минимум, парный акт.

Решением задачи двух тел является барицентрическая системная орбита (не путать с полевой центральной орбитой Кеплера). В полном соответствии с исходной постановкой задачи, решение задачи двух тел совершенно нечувствительно к нумерации точек и соотношению их масс. Полевая центральная орбита Кеплера возникает предельным переходом . При этом теряется равноправие точек: принимается абсолютно неподвижным тяготеющим центром, а первая точка «теряет» массу, — параметр выпадает из динамических уравнений. В математическом смысле возникающая система дегенеративна, так как количество уравнений и параметров уменьшается в два раза. Поэтому обратная асимптотика становится невозможной: из законов Кеплера не следует закон тяготения Ньютона. (Следует учесть, что массы вообще не упоминаются в законах Кеплера.)

Для задачи трёх тел в 1912 году Карлом Зундманом было получено общее аналитическое решение в виде рядов. Хотя эти ряды и сходятся для любого момента времени, с любыми начальными условиями, но сходятся они крайне медленно[1]. Из-за крайне медленной сходимости практическое использование рядов Зундмана невозможно[2].

Также для задачи трёх тел Генрихом Брунсом и Анри Пуанкаре было показано, что её общее решение нельзя выразить через алгебраические или через однозначные трансцендентные функции координат и скоростей[2]. Кроме того, известно только 5 точных решений задачи трёх тел для специальных начальных скоростей и координат объектов.

На данный момент в общем виде задача тел для может быть решена только численно, причём для ряды Зундмана даже при современном уровне компьютеров использовать практически невозможно.

Численные методы

С появлением компьютерной техники появилась реальная возможность изучать свойства систем гравитирующих тел путём численного решения системы уравнений движения. Для этого используются, например, метод Рунге — Кутты (четвёртого или более высокого порядка).

Численные методы сталкиваются с теми же проблемами, что и аналитические — при тесных сближениях тел необходимо уменьшать шаг интегрирования, а при этом быстро растут численные ошибки. Кроме того, при «прямом» интегрировании число вычислений силы для каждого шага растёт с ростом числа тел приблизительно как , что делает практически невозможным моделирование систем, состоящих из десятков и сотен тысяч тел.

Для решения этой проблемы применяют следующие алгоритмы (или их комбинации):

  • Схема Ахмада-Коэна — предлагает разделить силу, действующую на каждое тело, на 2 части — иррегулярную (от близких тел — «соседей») и регулярную (от более далёких тел). Соответственно, регулярную силу можно перевычислять с гораздо большим шагом, чем иррегулярную.
  • «Древесный алгоритм» (Treecode), впервые реализованный Джошуа Барнесом[3].

Интегралы движения

Несмотря на кажущуюся простоту формул, решения в виде конечных аналитических выражений для данной задачи в общем виде для не существует. Как показал Генрих Брунс, задача многих тел имеет только 10 независимых алгебраических интегралов движения, которые были найдены в XVIII веке и которых недостаточно для интегрирования задачи трёх и более тел[4][5]. Свои обобщения этой теоремы предложили Пенлеве и Пуанкаре. Пенлеве удалось отказаться от требования алгебраичности зависимости от координат, Пуанкаре же высказал гипотезу о том, что не существует нового однозначного интеграла (все классические интегралы, кроме интеграла энергии, являются однозначными функциями). Это последнее утверждение, по всей видимости, до сих пор строго не доказано в столь общей формулировке.

В 1971 году В. М. Алексеев так прокомментировал соответствующий пассаж в «Небесной механике» Пуанкаре[6]:

Несуществование однозначного аналитического интеграла в задаче трёх тел до сих пор не доказано с полной строгостью… Первое аккуратное доказательство неинтегрируемости гамильтоновой системы достаточно общего вида принадлежит Зигелю[7]. Интересно отметить, что неаналитические интегралы в рассматриваемых задачах возможны; их существование вытекает из одной теоремы Колмогорова[8][9]. Напротив, в случае, когда число переменных более двух, вероятнее всего, невозможен даже непрерывный интеграл[10].

См. также

Примечания

  1. К. Л. Зигель. Лекции по небесной механике. — М.: ИЛ, 1959.
  2. 1 2 А. П. Маркеев. Задача трёх тел и её точные решения // Соросовский образовательный журнал. — 1999. — № 9. (копия статьи в Архиве Интернета)
  3. Treecode — Software Distribution
  4. Bruns H. Ueber die Integrale der Vielkoerper-Problems // Acta math. Bd. 11 (1887), p. 25—96.
  5. Уитекер. Аналитическая динамика.
  6. В. В. Козлов. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. — Ижевск, 1995.
  7. Математика. — 1961. — № 5, вып. 2. — С. 129—155.
  8. Колмогоров А. Н. // ДАН, 1954, 48, № 4, 527—530
  9. Арнольд В. И. // УМН, 1963, 18 , № 5—6
  10. Арнольд В. И. // ДАН, 1964, 154, № 1, 9—12.

Литература

Ссылки

Эта страница в последний раз была отредактирована 28 октября 2019 в 21:48.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).