Гипотеза Тёплица, также известная как гипотеза о вписанном квадрате — нерешённая проблема геометрии. Формулировка гипотезы:
- На всякой замкнутой плоской жордановой кривой можно отыскать четыре точки, лежащие в вершинах квадрата.
Гипотеза Тёплица верна для выпуклых кривых, кусочно-гладких кривых и в других специальных случаях. Проблема была сформулирована Отто Тёплицем в 1911 году[1]. Ранние положительные результаты были получены Арнольдом Эмчем[2] и Львом Шнирельманом[3]. Для гладких кривых задача решена.[4]
Описание
Пусть C — кривая Жордана. Многоугольник P вписан в C , если все вершины P принадлежат C. Проблема вписанного квадрата заключается в следующем:
- Можно ли на каждой кривой Жордана отыскать вписанный квадрат?
При этом не требуется, чтобы вершины квадрата находились в каком-либо определённом порядке.
Для некоторых кривых, например, для окружности и квадрата, можно указать бесконечно много вписанных квадратов. В тупоугольный треугольник можно вписать ровно один квадрат.
Вальтер Стромквист доказал, что в каждую локально монотонную простую плоскую кривую можно вписать квадрат[5]. Доказательство применимо к кривым C, обладающим свойством локальной монотонности: для любой точки p, лежащей на C, существует такая окрестность U(p), что ни одна хорда C в этой окрестности не является параллельной заданному направлению n(p) (направлению оси ординат). К локально монотонным кривым относятся все выпуклые кривые и все кусочно-заданные непрерывно дифференцируемые кривые без точек возврата.
Утвердительный ответ также известен для центрально симметричных кривых[6].
Варианты и обобщения
Известно, что для любого заданного треугольника T и жордановой кривой C существует треугольник, подобный T и вписанный в C[7][8]. Более того, множество вершин таких треугольников является плотным в C[9]. В частности, всегда существует вписанный равносторонний треугольник. Также в любую жорданову кривую можно вписать прямоугольник.
В некоторых обобщениях проблемы вписанного квадрата рассматриваются вписанные в кривые многоугольники. Существуют также обобщения для многомерных евклидовых пространств. Так, Стромквист доказал, что в любую непрерывную замкнутую кривую , удовлетворяющую «условию A», можно вписать четырёхугольник с равными сторонами и равными диагоналями; «условие A» заключается в том, что никакие две хорды C в соответствующей окрестности любой точки не должны быть перпендикулярными[5]. Этот класс кривых включает все кривые C2. Нильсен и Райт доказали, что любой симметричный континуум содержит вписанные прямоугольники[6]. Генрих Гуггенхаймер доказал, что любая гиперповерхность, C3-диффеоморфная сфере Sn−1, содержит 2n вершин правильного евклидова гиперкуба[10].
Примечания
- ↑ Toeplitz, O. : Ueber einige aufgaben der analysis situs Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft in Solothurn, 94 (1911), p. 197.
- ↑ Emch, Arnold (1916), "On some properties of the medians of closed continuous curves formed by analytic arcs", American Journal of Mathematics, 38 (1): 6—18, doi:10.2307/2370541, MR 1506274
- ↑ Лев Шнирельман. О некоторых геометрических свойствах замкнутых кривых // УМН. — 1944. — Т. 10. — С. 34—44.
- ↑ The Rectangular Peg Problem, May 19, 2020, Архивировано из оригинала 27 июня 2020, Дата обращения: 26 июня 2020 Источник. Дата обращения: 26 июня 2020. Архивировано 27 июня 2020 года.
- ↑ 1 2 Stromquist, Walter (1989), "Inscribed squares and square-like quadrilaterals in closed curves", Mathematika, 36 (2): 187—197, doi:10.1112/S0025579300013061, MR 1045781
- ↑ 1 2 Nielsen, Mark J.; Wright, S. E. (1995), "Rectangles inscribed in symmetric continua", Geometriae Dedicata, 56 (3): 285—297, doi:10.1007/BF01263570, MR 1340790
- ↑ Meyerson, Mark D. (1980), "Equilateral triangles and continuous curves", Fundamenta Mathematicae, 110 (1): 1—9, MR 0600575.
- ↑ Kronheimer, E. H.; Kronheimer, P. B. (1981), "The tripos problem", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 24 (1): 182—192, doi:10.1112/jlms/s2-24.1.182, MR 0623685
- ↑ Nielsen, Mark J. (1992), "Triangles inscribed in simple closed curves", Geometriae Dedicata, 43 (3): 291—297, doi:10.1007/BF00151519, MR 1181760
- ↑ Guggenheimer, H. (1965), "Finite sets on curves and surfaces", Israel Journal of Mathematics, 3: 104—112, doi:10.1007/BF02760036, MR 0188898
Дополнительная литература
- Victor Klee and Stan Wagon, Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory, The Dolciani Mathematical Expositions, Number 11, Mathematical Association of America, 1991
Внешние ссылки
- Mark J. Nielsen, Figures Inscribed in Curves. A short tour of an old problem Архивная копия от 12 января 2015 на Wayback Machine
- Inscribed squares: Denne speaks Архивная копия от 22 декабря 2014 на Wayback Machine at Jordan Ellenberg's blog
Эта страница в последний раз была отредактирована 1 апреля 2024 в 14:25.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.