Гипотеза Гримма

Гипотеза Гримма (по имени Карла Альберта Гримма, 1 апреля 1926 – 2 января 2018) утверждает, что для каждого элемента набора последовательных составных чисел можно назначить не совпадающее с другими простое число, которое делит этот элемент. Гипотеза была опубликована в журнале American Mathematical Monthly, 76(1969), страницы 1126—1128.

Формальное утверждение

Если все числа n + 1, n + 2, …, n + k являются составными числами, тогда имеется k различных простых числа p_i, таких что p_i делит n + i для 1 ≤ i ≤ k.

Слабая версия

Более слабая, но всё равно недоказанная, версия гипотезы утверждает, что если в интервале $[n+1,n+k]$ нет простого числа, то $\prod _{x\leq k}(n+x)$ имеет по меньшей k различных простых делителей.

См. также

Интервалы между простыми числами

Примечания

Литература

Erdös P., Selfridge J. L. Some problems on the prime factors of consecutive integers II // Proceedings of the Washington State University Conference on Number Theory. — 1971. — С. 13-21.
Grimm C. A. A conjecture on consecutive composite numbers // The American Mathematical Monthly. — 1969. — Т. 76, вып. 10. — С. 1126–1128. — doi:10.2307/2317188.
Guy R. K. §B32 Grimm's Conjecture // Unsolved Problems in Number Theory. — 3rd ed.. — Springer Science+Business Media, 2004. — С. 133–134. — ISBN 0-387-20860-7.
Shanta Laishram, M. Ram Murty. Grimm's conjecture and smooth numbers // The Michigan Mathematical Journal. — 2012. — Т. 61, вып. 1. — С. 151–160. — doi:10.1307/mmj/1331222852.
Shanta Laishram, Shorey T. N. Grimm's conjecture on consecutive integers // International Journal of Number Theory. — 2006. — Т. 2, вып. 2. — С. 207–211. — doi:10.1142/S1793042106000498.
Ramachandra K. T., Shorey T. N., Tijdeman R. On Grimm's problem relating to factorisation of a block of consecutive integers // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1975. — Т. 273. — С. 109–124. — doi:10.1515/crll.1975.273.109.
Ramachandra K. T., Shorey T. N., Tijdeman R. On Grimm's problem relating to factorisation of a block of consecutive integers. II // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1976. — Т. 288. — С. 192–201. — doi:10.1515/crll.1976.288.192.
Neela S. Sukthankar. On Grimm's conjecture in algebraic number fields // Indagationes Mathematicae (Proceedings). — 1973. — Т. 76, вып. 5. — С. 475–484. — doi:10.1016/1385-7258(73)90073-5.
Neela S. Sukthankar. On Grimm's conjecture in algebraic number fields. II // Indagationes Mathematicae (Proceedings). — 1975. — Т. 78, вып. 1. — С. 13–25. — doi:10.1016/1385-7258(75)90009-8.
Neela S. Sukthankar. On Grimm's conjecture in algebraic number fields-III // Indagationes Mathematicae (Proceedings). — 1977. — Т. 80, вып. 4. — С. 342–348. — doi:10.1016/1385-7258(77)90030-0.
Weisstein, Eric W. Grimm's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.