Релятивистское равноускоренное движение

Релятиви́стское равноуско́ренное движе́ние (или релятивистское равномерно ускоренное движение) — такое движение объекта, при котором его собственное ускорение постоянно. Собственным ускорением называется ускорение объекта в сопутствующей (собственной) системе отсчета, то есть в инерциальной системе отсчёта, в которой текущая мгновенная скорость объекта равна нулю (при этом система отсчёта меняется от точки к точке). Примером релятивистского равноускоренного движения может быть движение тела постоянной массы под действием постоянной (в сопутствующей системе отсчёта) силы. Акселерометр, находящийся на равномерно ускоряющемся теле, не будет менять своих показаний.

В отличие от классической механики, физическое тело не может всё время двигаться с неизменным (в фиксированной инерциальной системе отсчёта) ускорением, так как в этом случае его скорость рано или поздно превысит скорость света. Однако собственное ускорение может быть постоянным сколь угодно долго; при этом скорость объекта в фиксированной инерциальной системе отсчёта будет асимптотически приближаться к скорости света, но никогда не превзойдёт её.

В релятивистской механике постоянная сила, действующая на объект, непрерывно изменяет его скорость, оставляя её, тем не менее, меньше скорости света. Простейшим примером релятивистски равноускоренного движения является одномерное движение заряженной частицы в однородном электрическом поле, направленном вдоль скорости^[1].

Для наблюдателя, движущегося с постоянным ускорением в пространстве Минковского, существуют два горизонта событий, так называемые горизонты Риндлера (см. координаты Риндлера).

Зависимость скорости от времени

При воздействии силы^[2] ${\displaystyle \textstyle \mathbf {f} }$ на объект с постоянной массой ${\displaystyle \textstyle m}$ его импульс изменяется следующим образом^[3]:

${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {m\mathbf {u} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2}}}}.}$

Если сила постоянна, то это уравнение легко интегрируется:

${\displaystyle {\frac {\mathbf {u} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2}}}}=\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t,}$

где ${\displaystyle \textstyle \mathbf {a} =\mathbf {f} /m}$ — постоянный вектор в направлении силы, а ${\displaystyle \textstyle \mathbf {w} _{0}}$ — константа интегрирования, выражающаяся через начальную скорость объекта ${\displaystyle \textstyle \mathbf {u} _{0}}$ в момент времени ${\displaystyle \textstyle t=0}$:

${\displaystyle \mathbf {w} _{0}={\frac {\mathbf {u} _{0}}{\sqrt {1-\mathbf {u} _{0}^{2}/c^{2}}}}.}$

Явное выражение скорости через время имеет вид:

${\displaystyle \mathbf {u} (t)={\frac {\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t}{\sqrt {1+(\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t)^{2}/c^{2}}}}.}$

Скорость частицы под воздействием постоянной силы стремится к скорости света, но никогда её не превышает. В нерелятивистском пределе малых скоростей зависимость скорости от времени принимает форму

${\displaystyle \mathbf {u} \approx \mathbf {u} _{0}+\mathbf {a} \,t}$,

отвечающую классическому равноускоренному движению.

Траектория движения

Траектория равноускоренного движения в общем случае зависит от ориентации постоянных векторов ${\displaystyle \textstyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \textstyle \mathbf {w} _{0}.}$ После интегрирования уравнения ${\displaystyle \textstyle \mathbf {u} (t)=d\mathbf {r} /dt}$ получается следующее выражение:

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+{\frac {\displaystyle \mathbf {a} \,c}{\displaystyle a^{2}}}\,\left({\sqrt {c^{2}+(\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t)^{2}}}-{\sqrt {c^{2}+\mathbf {w} _{0}^{2}}}\right)+{\frac {[\mathbf {a} \times [\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]]}{a^{2}}}\cdot \tau _{0},}$

где ${\displaystyle \textstyle \mathbf {r} _{0}}$ — радиус-вектор положения тела в момент времени ${\displaystyle \textstyle t=0,}$ а ${\displaystyle \textstyle \tau _{0}}$ — собственное время объекта^[4]:

${\displaystyle \tau _{0}={\frac {c}{a}}\cdot \ln {\frac {\displaystyle {\sqrt {c^{2}+(\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} t)^{2}}}+at+(\mathbf {w} _{0}\mathbf {a} )/a}{\displaystyle {\sqrt {c^{2}+\mathbf {w} _{0}^{2}}}+(\mathbf {w} _{0}\mathbf {a} )/a}}.}$

Если собственное ускорение ${\displaystyle \textstyle \mathbf {a} }$ и начальная скорость ${\displaystyle \textstyle \mathbf {u} _{0}}$ параллельны друг другу, то векторное произведение ${\displaystyle \textstyle [\mathbf {a} \times [\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]]}$ равно нулю, и выражение для траектории заметно упрощается.

В этом случае, если объект движется вдоль оси x, то его мировая линия на плоскости (x, t) является гиперболой ${\displaystyle x(t)=\mathrm {const} +{\sqrt {c^{2}t^{2}+c^{4}/a^{2}}}.}$ Поэтому одномерное равноускоренное релятивистское движение иногда называют гиперболическим.

Собственное время ${\displaystyle \textstyle \tau _{0}}$ равно времени, прошедшему на часах, связанных с объектом, от начального момента ${\displaystyle \textstyle t=0}$ до момента времени ${\displaystyle \textstyle t}$ в неподвижной системе отсчёта, относительно которой наблюдается движение. В результате замедления времени всегда ${\displaystyle \textstyle \tau _{0}<t.}$

В нерелятивистском пределе ${\displaystyle \textstyle c\to \infty }$ (малые скорости) получается уравнение классического равноускоренного движения:

${\displaystyle \mathbf {r} (t)\approx \mathbf {r} _{0}+\mathbf {u} _{0}\,t+{\frac {\mathbf {a} \,t^{2}}{2}}.}$

Собственное ускорение

Постоянный вектор ${\displaystyle \textstyle \mathbf {a} }$ имеет смысл обычного ускорения в мгновенной системе отсчёта, связанной с ускоряющимся телом. Если тело относительно своего предыдущего положения изменяет скорость на ${\displaystyle \textstyle a\,dt',}$ где ${\displaystyle \textstyle a={\textrm {const}},}$ то в неподвижной системе отсчёта такое движение будет релятивистски равноускоренным. По этой причине параметр ${\displaystyle \textstyle a}$ называется собственным ускорением. Приняв такое определение движения, можно получить зависимость скорости от времени, не обращаясь к динамике, оставаясь только в рамках кинематики теории относительности^[5].

Модуль собственного ускорения a в одномерном случае соотносится с модулем 3-ускорения a′ = du/dt , наблюдаемого в фиксированной инерциальной системе отсчёта Λ с координатным временем t, следующим образом:

${\displaystyle a=a^{\prime }\gamma ^{3}={\frac {1}{\left(1-u^{2}/c^{2}\right)^{3/2}}}{\frac {{\textrm {d}}u}{{\textrm {d}}t}},}$

где γ — лоренц-фактор объекта, u — его скорость в Λ. Если начальные значения координаты и скорости принять равными нулю, то, интегрируя вышеприведённое уравнение, можно получить зависимости скорости и положения объекта в системе Λ от координатного времени:

${\displaystyle u(t)={\frac {at}{\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2}}}}=c\operatorname {th} \left(\operatorname {Arsh} {\frac {at}{c}}\right);}$

${\displaystyle x(t)={\frac {c^{2}}{a}}\left({\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2}}}-1\right)={\frac {c^{2}}{a}}\left(\operatorname {ch} \left(\operatorname {Arsh} {\frac {at}{c}}\right)-1\right).}$

Зависимость тех же величин от собственного времени объекта:

${\displaystyle u(\tau )=c\operatorname {th} {\frac {a\tau }{c}};}$

${\displaystyle x(\tau )={\frac {c^{2}}{a}}\left(\operatorname {ch} {\frac {a\tau }{c}}-1\right).}$

Зависимость собственного времени от координатного времени:

${\displaystyle \tau (t)={\frac {c}{a}}\ln \left({\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2}}}+{\frac {at}{c}}\right)={\frac {c}{a}}\operatorname {Arsh} {\frac {at}{c}}.}$

Зависимость координатного времени от собственного времени:

${\displaystyle t(\tau )={\frac {c}{a}}\operatorname {sh} {\frac {a\tau }{c}}.}$

Излучение равномерно ускоренного заряда

Заряд e, движущийся с постоянным собственным ускорением a, излучает электромагнитные волны с мощностью ${\displaystyle P={\frac {2e^{2}a^{2}}{3c^{3}}}}$ (в гауссовой системе). При этом радиационное трение отсутствует^[6].

См. также

• Координаты Риндлера
• Быстрота

Примечания

Эта страница в последний раз была отредактирована 8 января 2024 в 05:42.