Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Выпуклое множество.
Выпуклое множество.
Невыпуклое множество.
Невыпуклое множество.

Выпуклое множество в аффинном или векторном пространстве — множество, в котором все точки отрезка, образуемого любыми двумя точками данного множества, также принадлежат данному множеству.

Граница выпуклого множества всегда является выпуклой кривой. Пересечение всех выпуклых множеств, содержащих данное подмножество A евклидова пространства, называется выпуклой оболочкой A. Это наименьшее выпуклое множество, содержащее A.

Выпуклая функция — это вещественнозначная функция, определенная на интервале со свойством, что ее надграфик (множество точек на графике функции или над ним) является выпуклым множеством. Выпуклое программирование — это подраздел оптимизации, изучающая проблему минимизации выпуклых функций над выпуклыми множествами. Раздел математики, посвященный изучению свойств выпуклых множеств и выпуклых функций, называется выпуклым анализом.

Выпуклые множества играют важную роль во многих оптимизационных задачах[1].

Определения

Пусть  — аффинное или векторное пространство над полем вещественных чисел .

Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками множеству принадлежат все точки отрезка , соединяющего в пространстве точки и . Этот отрезок можно представить как

Связанные определения

Множество векторного пространства называется абсолютно выпуклым, если оно выпукло и уравновешенно.

Примеры

Свойства

  • Пустое множество и все пространство являются выпуклыми множествами. Поскольку пустое пространство и все пространство являются также и  замкнутыми множествами, то они также являются замкнутыми выпуклыми множествами.
  • Совокупность всех выпуклых множеств линейного пространства по отношению порядка образованного отношением включения является частично упорядоченным множеством с минимальным элементом, являющимся пустым множеством и максимальным элементом равным всему пространству. Такое же утверждение справедливо и для совокупности замкнутых выпуклых множеств.
  • Выпуклое множество в топологическом линейном пространстве является связным и линейно связным, гомотопически эквивалентным точке.
  • В терминах связности, выпуклое множество можно определить так: множество выпукло, если его пересечение с любой (вещественной) прямой связно.
  • Пусть  — выпуклое множество в линейном пространстве. Тогда для любых элементов принадлежащих и для всех неотрицательных , таких что , вектор
принадлежит .
Вектор называется выпуклой комбинацией элементов .
  • Пересечение любой совокупности выпуклых множеств является выпуклым множеством. Поскольку операция пересечения обладает также свойствами ассоциативности и коммутативности, совокупность выпуклых множеств по операции пересечения образует коммутативную полугруппу. Эта полугруппа содержит единицу, равную всему пространству. Таким образом совокупность выпуклых множеств является моноидом по операции пересечения.
  • Из замкнутости семейства выпуклых множеств по операции пересечения следует, что для любого подмножества линейного пространства существует наименьшее выпуклое множество, его содержащее. Это множество является пересечением всех выпуклых множеств, содержащих , и называется выпуклой оболочкой множества . Обозначается , , а также .
    • Выпуклая оболочка выпуклого множества совпадает с самим множеством.
    • Выпуклая оболочка замкнутого множества является замкнутым (и выпуклым) множеством.
    • Выпуклая оболочка множества совпадает с множеством всех выпуклых линейных комбинаций векторов , :
    , где неотрицательные числа, такие что .
    • Любой вектор , где — подмножество - мерного линейного пространства , может быть представлен в виде выпуклой комбинации не более чем векторов множества . [1] Это утверждение называется  теоремой Каратеодори о выпуклой оболочке.
  • Пусть — некоторое замкнутое выпуклое множество. Тогда найдётся точка такая, что для всех выполняется
.[1]

Вариации и обобщения

Алгоритмы

Алгоритм Дикстры — нахождение точки из пересечения выпуклых множеств.

См. также

Литература

  • Лейхтвейс, К. Выпуклые множества. — М.: Наука, 1985. — 336 с.
  • Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3..

Примечания

  1. 1 2 3 4 5 Демьянов, Малоземов, 1972.
  2. Weisstein, Eric W. Triangle Circumscribing (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Эта страница в последний раз была отредактирована 30 июня 2021 в 08:01.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).