Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Альтернативы
Недавние
Show all languages
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Замечательные пределы

Из Википедии — свободной энциклопедии

Замеча́тельные преде́лы — термины, использующиеся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения двух широко известных математических тождеств со взятием предела:

  • Первый замечательный предел:
  • Второй замечательный предел:

Первый замечательный предел

Доказательство:

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Рассмотрим случай . Отложим этот угол на единичной окружности так, чтобы его вершина совпадала с началом координат, а одна сторона совпадала с осью . Пусть — точка пересечения второй стороны угла с единичной окружностью, а точка — с касательной к этой окружности в точке . Точка — проекция точки на ось .

Очевидно, что:

(1)

(где — площадь сектора )

Поскольку :

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на :

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел (так как функция четна, в этом нет необходимости, достаточно доказать это для правого предела):

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия:

Второй замечательный предел

или

Доказательство существования второго замечательного предела:

   Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где  — это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому
.
Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:
.
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку , тогда

.

Очевидно, из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.   

Следствия

  1. для ,

Применение

Замечательные пределы и их следствия используются при раскрытии неопределённостей для нахождения других пределов.

См. также

Литература

Ссылки

Эта страница в последний раз была отредактирована 29 октября 2023 в 01:45.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).