Волновое уравнение

Волновое уравнение в физике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.

В многомерном случае однородное волновое уравнение записывается в виде

${\displaystyle \Delta u={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}}$,

где ${\displaystyle \Delta }$ — оператор Лапласа, ${\displaystyle u=u(x,t)}$ — неизвестная функция, ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ — время, ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ — пространственная переменная, ${\displaystyle v}$ — фазовая скорость.

В одномерном случае уравнение называется также уравнением колебания струны или уравнением продольных колебаний стержня и записывается в виде

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}}$.

Данное уравнение можно трактовать следующим образом. Вторая производная координаты по времени — сила (второй закон Ньютона) — пропорциональна кривизне струны (вторая производная по координате). Иными словами, чем выше кривизна "горбов" на струне (чем более острые "горбы"), тем большая сила растягивает данный участок струны.

Разность ${\displaystyle \Delta -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}$ называется оператором Д’Аламбера и обозначается как ${\displaystyle \square }$ (разные источники используют разный знак). Таким образом, с использованием оператора Д’Аламбера (даламбертиана) однородное волновое уравнение записывается как

${\displaystyle \square u=0}$

Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=v^{2}\Delta u+f}$,

где ${\displaystyle f=f(x,t)}$ — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).

Стационарным вариантом волнового уравнения является уравнение Лапласа (уравнение Пуассона в неоднородном случае).

Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к задаче на собственные значения для уравнения Лапласа, то есть к нахождению решений уравнения Гельмгольца, получающегося подстановкой ${\displaystyle u(x,t)=U(x)e^{i\omega t}\ }$ или ${\displaystyle u(x,t)=U(x)\,\mathop {\rm {cos}} \,(\omega t)\ }$.

Существует аналитическое решение гиперболического уравнения в частных производных. В евклидовом пространстве произвольной размерности оно называется формулой Кирхгофа. Частные случаи: для колебания струны (${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$) — формула Д’Аламбера, для колебания мембраны (${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) — формула Пуассона.

Решение одномерного волнового уравнения (здесь ${\displaystyle v=a}$ — фазовая скорость)

${\displaystyle u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f(x,t)\quad }$ (функция ${\displaystyle f(x,t)}$ соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

${\displaystyle u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)}$

имеет вид

${\displaystyle u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{x-a(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )}f(s,\tau )dsd\tau }$

Интересно заметить, что решение однородной задачи

${\displaystyle u_{tt}=a^{2}u_{xx}}$,

имеющее следующий вид:

${\displaystyle u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }}$,

может быть представлено в виде

${\displaystyle u(x,t)=f_{1}(x+at)+f_{2}(x-at)}$,

где

${\displaystyle f_{1}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{x}{\psi (\alpha )d\alpha },\qquad f_{2}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x}^{0}{\psi (\alpha )d\alpha }}$.

В таком случае говорят, что решение представлено в виде суммы бегущих волн, а функции ${\displaystyle f_{1}(x)}$ и ${\displaystyle f_{2}(x)}$ — это профили волн, бегущих, соответственно, влево и вправо. В рассматриваемом случае профили волн со временем не изменяются.

В многомерном случае решение задачи Коши также может быть разложено в бегущие волны, однако уже не в сумму, а в интеграл, поскольку направлений становится бесконечно много. Это делается элементарно при помощи преобразования Фурье

Рассмотрим однородное уравнение колебаний на полупрямой ${\displaystyle [0;+\infty )}$

${\displaystyle u_{tt}=a^{2}u_{xx}}$

с закрепленным концом:

${\displaystyle u(0,t)=0}$

и начальными условиями

${\displaystyle u(x,0)=\varphi (x),\qquad u_{t}(x,0)=\psi (x)}$

для того, чтобы задача имела решение, необходима согласованность начальных условий и граничного условия, а именно:

${\displaystyle \varphi (0)=0,\qquad \psi (0)=0}$

Задача на полупрямой легко сводится к задаче на прямой после того, как мы антисимметрично продолжим начальные условия:

${\displaystyle \varphi (-x)=-\varphi (x),\qquad \psi (-x)=-\psi (x)\qquad \forall x\in [0,+\infty )}$

В силу того, что начальные условия ${\displaystyle \varphi (x),\psi (x)}$ — нечётные функции, логично ожидать, что и решение ${\displaystyle u(x,t)}$ будет нечётной функцией. В этом можно непосредственно убедиться, рассмотрев решение в виде формулы Д’Аламбера. Поэтому полученное решение u(x, t) будет удовлетворять начальным условиям и граничному условию ${\displaystyle u(0,t)=0}$ (последнее следует из нечётности функции).

Показанный приём широко используется (не только для волнового уравнения) и называется метод отражения. Например, можно рассмотреть волновое уравнение на полупрямой, но с граничным условием второго рода на конце ${\displaystyle x=0}$:

${\displaystyle u_{x}(0,t)=0}$.

Физически условие означает, что левый конец стержня (если рассматривать систему как продольные колебания стержня) свободен, то есть на него не действует никакая сила.

Рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке ${\displaystyle [0,a]}$

${\displaystyle u_{tt}=a^{2}u_{xx}}$

с однородными граничными условиями первого рода (то есть при закрепленных концах)

${\displaystyle u(0,t)=0\qquad u(a,t)=0}$

и начальными условиями

${\displaystyle u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]}$

При помощи метода отражения задача может быть снова сведена к задаче на прямой. В данном случае потребуется бесконечное число отражений, в итоге продолженные начальные условия будут определяться таким образом:

${\displaystyle \varphi (2na+x)=\varphi (x)\qquad \psi (2na+x)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z}$

${\displaystyle \varphi (2na-x)=-\varphi (x)\qquad \psi (2na-x)=-\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z}$

При рассмотрении неоднородного волнового уравнения:

${\displaystyle u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f(x,t)}$

используются ровно те же соображения, и функция ${\displaystyle f(x,t)}$ продолжается таким же образом.

Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке ${\displaystyle [0,l]}$

${\displaystyle u_{tt}=a^{2}u_{xx}}$

с однородными граничными условиями первого рода

${\displaystyle u(0,t)=0\qquad u(l,t)=0}$

и начальными условиями

${\displaystyle u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,l]}$

Метод Фурье основывается на представлении решения в виде (бесконечной) линейной комбинации простых решений задачи вида

${\displaystyle X(x)T(t)}$, где обе функции зависят только от одной переменной.

Отсюда другое название метода — метод разделения переменных.

Нетрудно показать, что для того, чтобы функция ${\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t)}$ была решением уравнения колебаний и удовлетворяла граничным условиям, необходимо, чтобы выполнялись условия

${\displaystyle X(0)=0\qquad X(l)=0}$

${\displaystyle a^{2}X''(x)=-\lambda X(x)}$

${\displaystyle T''(t)=-\lambda T(t)}$

Решение задачи Штурма-Лиувилля на ${\displaystyle X(x)}$ приводит к ответу:

${\displaystyle X_{n}(x)=\sin \left({\frac {\pi nx}{l}}\right)\qquad n\in \mathbf {N} }$

и их собственным значениям ${\displaystyle \lambda _{n}=\left({\frac {\pi na}{l}}\right)^{2}}$

Соответствующие им функции ${\displaystyle T}$ выглядят как

${\displaystyle T_{n}(t)=\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta _{n}\cos({\sqrt {\lambda }}_{n}t).}$

Таким образом, их линейная комбинация (при условии, что ряд сходится) является решением смешанной задачи

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{+\infty }X_{n}(x)T_{n}(t)=\sum _{n=1}^{+\infty }\left(\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta _{n}\cos({\sqrt {\lambda }}_{n}t)\right)\sin {\frac {\pi nx}{l}}.}$

Разложив функции ${\displaystyle \varphi (x),\psi (x)}$ в ряд Фурье, можно получить коэффициенты ${\displaystyle \alpha _{n},\beta _{n}}$, при которых решение будет обладать такими начальными условиями.

Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке ${\displaystyle [0,a]}$

${\displaystyle u_{tt}=u_{xx},}$

однако на сей раз положим однородные начальные условия

${\displaystyle u(x,0)\equiv 0,\quad u_{t}(x,0)\equiv 0\qquad \forall x\in [0,a]}$

и неоднородные граничные. Например, будем считать, что задана зависимость положения концов стержня от времени (граничное условие первого рода)

${\displaystyle u(0,t)=\mu (t)\qquad u(a,t)=\nu (t)}$

Решение записывается в виде

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\biggl [}\mu (t-x-2ka)-\mu (t+x-(2k+2)a){\biggr ]}+\sum _{k=0}^{+\infty }{\biggl [}\nu (t+x-(2k+1)a)-\nu (t-x-(2k+1)a){\biggr ]}}$

В том, что оно удовлетворяет уравнению и начально-краевым условиям, можно убедиться непосредственно. Интересна интерпретация: каждое слагаемое в решении соответствует некоторому отражению одной из граничных волн. Например, левое граничное условие порождает волну вида

${\displaystyle \mu (t-x),}$

которая, добегая за время а до правого конца, отражается и даёт вклад

${\displaystyle \mu (t+x-2a),}$

через время а снова отражается и дает вклад

${\displaystyle \mu (t-x-2a),}$

Этот процесс продолжается бесконечно долго, суммируя вклады всех волн и получаем указанное решение. Если нас интересует решение на промежутке ${\displaystyle [0,T]}$, то мы можем ограничиться лишь первыми ${\displaystyle \lceil T/a\rceil }$ слагаемыми.

Примером физических величин, поведение которых описывается волновым уравнением, являются электрическая и магнитная компоненты электромагнитной волны.

Система уравнения Максвелла в дифференциальной форме имеет вид

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\qquad \operatorname {div} \mathbf {D} =\rho }$

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\quad \operatorname {div} \mathbf {B} =0}$.

При этом действуют соотношения ${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mu _{0}\mathbf {H} }$ и ${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \varepsilon _{0}\mathbf {E} }$. Здесь ${\displaystyle \mathbf {E} }$ — напряженность электрического поля, ${\displaystyle \mathbf {H} }$ — напряженность магнитного поля, ${\displaystyle \mathbf {B} }$ — магнитная индукция, ${\displaystyle \mathbf {D} }$ — электрическое смещение, ${\displaystyle \mathbf {j} }$ — плотность тока, ${\displaystyle \rho }$ — плотность заряда, ${\displaystyle \mu }$ — магнитная проницаемость, ${\displaystyle \varepsilon }$ — диэлектрическая проницаемость, ${\displaystyle \mu _{0}}$ — магнитная постоянная, ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ — электрическая постоянная.

Для электромагнитной волны ${\displaystyle \mathbf {j} =0}$, ${\displaystyle \rho =0}$, поэтому, если среда однородна, уравнения принимают форму

${\displaystyle \varepsilon \varepsilon _{0}\operatorname {div} \mathbf {E} =0}$

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$.

Предполагая, что волна распространяется в направлении X, а колебания вектора ${\displaystyle \mathbf {E} }$ происходят в направлении Y, отсюда можно вывести волновое уравнение для составляющей ${\displaystyle E_{y}}$ и аналогичное уравнение для ${\displaystyle H_{z}}$:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\partial ^{2}E_{y} \over \partial t^{2}}\qquad v={\frac {1}{\sqrt {\mu \mu _{0}\epsilon \epsilon _{0}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}H_{z}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\partial ^{2}H_{z} \over \partial t^{2}}}$.

Простейшим решением этих уравнений будут функции^[3]:

${\displaystyle E_{y}=E_{m}\cos(\omega t-kx)}$

${\displaystyle H_{z}=H_{m}\cos(\omega t-kx)}$,

где ${\displaystyle k}$ — волновое число. Найдём его, подставив решение в волновое уравнение:

${\displaystyle E_{m}k^{2}\cos(\omega t-kx)={\frac {1}{v^{2}}}E_{m}\omega ^{2}\cos(\omega t-kx)}$

Отсюда получается, что ${\displaystyle k=\omega /v}$.

Отношение амплитуд электрической и магнитной составляющих электромагнитной волны может быть определено с использованием уравнений

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {E} =-\mu \mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}\qquad \operatorname {rot} \mathbf {H} =\varepsilon \varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$.

Подставляя сюда выписанные выше решения для полей, приходим к двум соотношениям:

${\displaystyle E_{m}k=\mu \mu _{0}H_{m}\omega }$

${\displaystyle \varepsilon \varepsilon _{0}E_{m}\omega =H_{m}k}$

Если умножить одно на другое, получится связь амплитуд:

${\displaystyle \varepsilon \varepsilon _{0}E_{m}^{2}k\omega =\mu \mu _{0}H_{m}^{2}k\omega }$.

В случае вакуума (${\displaystyle c}$ — скорость света в вакууме):

${\displaystyle {\frac {E_{m}}{H_{m}}}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}={\sqrt {(4\pi 10^{-7})(4\pi c^{2}10^{7})}}=120\pi \approx 377}$ Ом^[3].

• Спор о струне
• Уравнение Гельмгольца
• Уравнение Лапласа
• Уравнение Клейна — Гордона — Фока
• Волновое уравнение в случайно неоднородной среде
• Формула Кирхгофа
• Специальная теория относительности

• Волновое уравнение // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: Учебное пособие.. — 6-е изд., испр. и доп.. — М.: Изд-во МГУ, 1999. — 798 с. — ISBN 5-211-04138-0.
• И.В.Савельев "Курс общей физики" том II
• В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984