Весовая матрица

В математике, весовая матрица ${\displaystyle W}$ порядка ${\displaystyle n}$ с весом ${\displaystyle w}$ — это ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle (0,1,-1)}$-матрица, такая что ${\displaystyle WW^{T}=wI_{n}}$, где ${\displaystyle W^{T}}$ — транспонирование матрицы ${\displaystyle W}$, а ${\displaystyle I_{n}}$ — единичная матрица порядка ${\displaystyle n}$. Весовую матрицу также называют весовой схемой.

Для удобства весовую матрицу порядка ${\displaystyle n}$ и веса ${\displaystyle w}$ часто обозначают ${\displaystyle W(n,w)}$.

${\displaystyle W(n,n-1)}$ эквивалентна конференс-матрице, а ${\displaystyle W(n,n)}$ — матрице Адамара.

Свойства

Некоторые свойства следуют непосредственно из определения:

• Строки весовой матрицы попарно ортогональны. Аналогично для столбцов.
• Каждая строка и каждый столбец содержит в точности ${\displaystyle w}$ ненулевых элементов.
• ${\displaystyle W^{T}W=wI}$, так как из определения следует ${\displaystyle W^{-1}=w^{-1}W^{T}}$ (предполагается, что вес не равен 0).
• ${\displaystyle \mathrm {det} (W)=\pm w^{n/2}}$, где ${\displaystyle det(W)}$ — определитель матрицы ${\displaystyle W}$.

Две весовые матрицы считаются эквивалентными, если одна может быть получена из другой, посредством ряда перестановок и умножений строк и столбцов исходной матрицы на минус единицу. Весовые матрицы полностью классифицированы для случаев, когда ${\displaystyle w\leq 5}$, а также всех случаев, когда ${\displaystyle n\leq 15}$. ^[1]. За исключением этого, очень мало известно о классификации циркулянтных весовых матриц.

Примеры

Отметим, что при отображении весовых матрицы используется символ ${\displaystyle -}$ для −1.

Приведём два примера: ${\displaystyle W_{2}}$ является ${\displaystyle W(2,2)}$ весовой матрицей (матрицей Адамара), а ${\displaystyle W_{7}}$ — ${\displaystyle W(7,4)}$ весовой матрицей.

• ${\displaystyle W_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&-\end{pmatrix}}}$
• ${\displaystyle W_{7}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0&0\\1&-&0&0&1&1&0\\1&0&-&0&-&0&1\\1&0&0&-&0&-&-\\0&1&-&0&0&1&-\\0&1&0&-&1&0&1\\0&0&1&-&-&1&0\end{pmatrix}}}$

Открытые вопросы

Существует множество открытых вопросов о весовых матрицах. Главным из них является их существование: для каких чисел n и w существует W(n,w)? Многое в этом вопросе остаётся неизвестным. В равной степени важным, но часто неисследованным вопросом является их подсчёт: для заданных n и w, сколько существует матриц W(n,w)? Более глубоко, можно задаться вопросом классификации с точки зрения структуры, но на сегодняшний день это далеко выходит за рамки наших возможностей, даже для матриц Адамара или конференс-матриц.

Ссылки

• On Hotelling's Weighing Problem, Alexander M. Mood, Ann. Math. Statist. Volume 17, Number 4 (1946), 432-446.

Примечания

Эта страница в последний раз была отредактирована 14 июня 2022 в 21:25.