Вариация функции

В математическом анализе вариацией функции называется числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с её дифференциальными свойствами. Для функции из отрезка на вещественной прямой в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ является обобщением понятия длины кривой, задаваемой в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ этой функцией.

Определение

Пусть ${\displaystyle f:[a,\;b]\to \mathbb {R} ^{n}}$. Тогда вариацией (также полной вариацией или полным изменением) функции ${\displaystyle f}$ на отрезке ${\displaystyle [a,\;b]}$ называется следующая величина:

${\displaystyle V_{a}^{b}f\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sup \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}\|f(x_{k+1})-f(x_{k})\|,}$

то есть точная верхняя грань по всем разбиениям ${\displaystyle P}$ отрезка ${\displaystyle [a,\;b]}$ длин ломаных в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, концы которых соответствуют значениям ${\displaystyle f}$ в точках разбиения.

Связанные определения

• Функции, вариация которых ограничена на отрезке, называются функциями ограниченной вариации, а класс таких функций обозначается ${\displaystyle V[a,\;b]}$ или просто ${\displaystyle V}$.
  • В таком случае определена функция ${\displaystyle v(x)=V_{a}^{x}f}$, называющаяся функцией полной вариации для ${\displaystyle f}$.
• Положительная вариация вещественнозначной функции ${\displaystyle f}$ на отрезке ${\displaystyle [a,\;b]}$ называется следующая величина:

  ${\displaystyle P_{a}^{b}f\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sup \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}\max\{0,\;f(x_{k+1})-f(x_{k})\}.}$

• Аналогично определяется отрицательная вариация функции:

  ${\displaystyle N_{a}^{b}f\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}-\inf \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}\min\{0,\;f(x_{k+1})-f(x_{k})\}.}$

• Таким образом полная вариация функции может быть представлена в виде суммы

  ${\displaystyle V_{a}^{b}f=P_{a}^{b}f+N_{a}^{b}f.}$

Свойства функций ограниченной вариации

• Сумма и произведение функций ограниченной вариации тоже будет иметь ограниченную вариацию. Частное двух функций из ${\displaystyle V}$ будет иметь ограниченную вариацию (другими словами, принадлежать классу ${\displaystyle V}$), если модуль знаменателя будет больше, чем положительная постоянная на отрезке ${\displaystyle [a,\;b]}$.
• Если ${\displaystyle a<x\leqslant y<b}$, а ${\displaystyle f\in V[a,\;b]}$, то ${\displaystyle V_{a}^{x}f+V_{x}^{y}f=V_{a}^{y}f}$.
• Если функция ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle a}$ справа и принадлежит ${\displaystyle V[a,\;b]}$, то ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a{+}}v(x)=0}$.
• Функция ${\displaystyle f(x)}$, заданная на отрезке ${\displaystyle [a,\;b]}$, является функцией ограниченной вариации тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде суммы возрастающей и убывающей на ${\displaystyle [a,\;b]}$ функции (разложение Жордана).
• Всякая функция ограниченной вариации ограничена и может иметь не более чем счётное множество точек разрыва, причём все первого рода.
• Функция ограниченной вариации может быть представлена в виде суммы абсолютно непрерывной функции, сингулярной функции и функции скачков (разложение Лебега).

Все эти свойства были установлены Жорданом^[1][2].

Вычисление вариации

Вариация непрерывно дифференцируемой функции

Если функция ${\displaystyle f:[a,\;b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ принадлежит классу ${\displaystyle C^{1}}$, то есть имеет непрерывную производную первого порядка на отрезке ${\displaystyle [a,\;b]}$, то ${\displaystyle f}$ — функция ограниченной вариации на этом отрезке, а вариация вычисляется по формуле:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}\|f^{\prime }(x)\|\,dx,}$

то есть равна интегралу нормы производной.

История

Функции ограниченной вариации изучались К. Жорданом^[1].

Первоначально класс функций с ограниченной вариацией был введён К. Жорданом в связи с обобщением признака Дирихле сходимости рядов Фурье кусочно монотонных функций. Жордан доказал, что ряды Фурье ${\displaystyle 2\pi }$-периодических функций класса ${\displaystyle V[0,\;2\pi ]}$ сходятся в каждой точке действительной оси. Однако в дальнейшем функции ограниченной вариации нашли широкое применение в различных областях математики, особенно в теории интеграла Стилтьеса.

Вариации и обобщения

• Длина кривой определяется как естественное обобщение вариации на случай отображений в метрическое пространство.

• В случае нескольких переменных существует несколько различных определений вариации функции:
  • вариация Фреше,
  • плоская вариация Тонелли.

Φ-вариация функции

Рассматривается также класс ${\displaystyle V_{\Phi }[a,\;b]}$, который определяется следующим образом:

${\displaystyle {V_{\!\Phi }}_{a}^{b}f\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sup \limits _{a\leqslant x\leqslant b}\sum \limits _{k=1}^{n}\Phi (|f(x_{k})-f(x_{k-1})|),}$

где ${\displaystyle \Phi (x)}$ (${\displaystyle x\geqslant 0,\;\Phi (0)=0}$) — положительная при ${\displaystyle x>0}$ монотонно возрастающая непрерывная функция;

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}=b}$ — произвольное разбиение отрезка ${\displaystyle [a,\;b]}$.

Величина ${\displaystyle {V_{\!\Phi }}_{a}^{b}f}$ называется ${\displaystyle \Phi }$-вариацией функции ${\displaystyle f(x)}$ на отрезке ${\displaystyle [a,\;b]}$.

Если ${\displaystyle {V_{\!\Phi }}_{a}^{b}f<\infty }$, то функция ${\displaystyle f(x)}$ обладает ограниченной ${\displaystyle \Phi }$-вариацией на отрезке ${\displaystyle [a,\;b]}$. Класс всех таких функций обозначается через ${\displaystyle V_{\Phi }[a,\;b]}$ или просто как ${\displaystyle V_{\Phi }}$^{[3][нет в источнике]}. Определение класса ${\displaystyle V_{\Phi }[a,\;b]}$ предложено Л. Янгом^[en][4] (L. С. Young).

Частным случаем классов Янга являются классы Жордана, при этом ${\displaystyle \Phi (x)=x}$. Если ${\displaystyle \Phi (x)=x^{p}}$ при ${\displaystyle 1<p<\infty }$, то получаются классы ${\displaystyle V_{p}}$ Н. Винера^[5] (N. Wiener).

Свойства

Если рассмотреть две функции ${\displaystyle \Phi _{1}(x)}$ и ${\displaystyle \Phi _{2}(x)}$ такие, что

${\displaystyle \varlimsup _{x\to 0^{+}}{\frac {\Phi _{1}(x)}{\Phi _{2}(x)}}<\infty ,}$

то для их ${\displaystyle \Phi }$-вариаций справедливо отношение:

${\displaystyle V_{\Phi _{2}}[a,\;b]\subset V_{\Phi _{1}}[a,\;b].}$

В частности,

${\displaystyle V_{x^{p}}\subset V_{x^{q}}\subset V_{\exp(-x^{-\alpha })}\subset V_{\exp(-x^{-\beta })}}$

при ${\displaystyle 1\leqslant p<q<\infty ,\;0<\alpha <\beta <\infty }$.

См. также

• Вариация функционала
• Вариационное исчисление
• Вариационный ряд
• Интеграл Римана — Стилтьеса
• Вариация Фреше
• Вариация Харди
• Волатильность
• Функция Вейерштрасса

Литература

• Лебег, А. Интегрирование и отыскание примитивных функций / Пер. с франц. — М.—Л.: ОНТИ, 1934. — 324 с.
• Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974. — 484 с.
• Бари, Н. К. Тригонометрические ряды. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — 936 с.

Примечания

Эта страница в последний раз была отредактирована 16 октября 2023 в 13:49.