Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

bra ket
бра кет
ско бка
Квантовая механика
См. также: Портал:Физика

Бра и кет (англ. bra-ket < bracket скобка) — алгебраический формализм (система обозначений), предназначенный для описания квантовых состояний. Называется также обозначениями Дирака. В матричной механике данная система обозначений является общепринятой.

Определение и использование

В квантовой механике состояние системы описывается лучом в сепарабельном гильбертовом пространстве, или, что эквивалентно, элементом проективного гильбертового пространства элементы которого называются «векторы состояния» («кет-векторы») и обозначаются символом .

Каждому кет-вектору ставится в соответствие бра-вектор из пространства, сопряжённого к то есть из

Бра-вектор из пространства определяется соотношением:

, для любого кет-вектора

Допуская некоторую вольность речи, иногда говорят, что бра-векторы «совпадают» с соответствующими им комплексно-сопряжёнными кет-векторами. При этом обычно происходит отождествление векторов и функционалов над векторами со столбцами или строками координат разложения их по соответствующему базису или

Скалярное произведение бра-вектора с кет-вектором (а точнее, действие бра-вектора на кет-вектор) записывается в виде две вертикальные черты «сливаются», а скобки опускаются. Квадрат вектора, по определению гильбертова пространства, неотрицателен: На векторы, описывающие состояния системы, накладывается условие нормировки

Линейные операторы

Если  — линейный оператор из в , то действие оператора на кет-вектор записывается как

Для каждого оператора и бра-вектора вводится функционал из пространства то есть бра-вектор, умноженный на оператор , который определяется равенством:

для любого вектора

Так как положение скобок не имеет значения, их обычно опускают и пишут просто

Это выражение называется свёрткой оператора с бра-вектором и кет-вектором Значение этого выражения есть скаляр (комплексное число).

В частности, матричный элемент оператора в определённом базисе (в тензорных обозначениях — ) записывается в обозначениях Дирака как а среднее значение наблюдаемой на состоянии  — как

Умножение векторов на оператор (кет-вектора — слева, бра-вектора — справа) даёт векторы того же типа и записывается тем же способом, что принят в линейной алгебре (то есть в том случае, если бра- и кет-векторы отождествляются с векторами-строками и столбцами, а операторы — с квадратными матрицами):

Уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния) будет иметь вид:

где  — гамильтониан, а  — скаляр (уровень энергии).

Отличия бра-кет-обозначений от традиционных

В математике употребляется обозначение «эрмитового» скалярного произведения в гильбертовом пространстве, имеющее тот же смысл, что и перемножение бра на кет. Однако математики обычно рассматривают угловые скобки как знак операции, а не части обозначения вектора. Традиционное математическое обозначение, в отличие от дираковского, несимметрично — оба вектора предполагаются величинами одного типа, и по первому аргументу из двух операция является антилинейной.

С другой стороны, произведение бра и кет является билинейным, но от двух аргументов разного типа. Сопряжённым к кет-вектору будет являться бра-вектор (где  — мнимая единица). Однако, в квантовой механике эту странность обозначений позволено игнорировать, поскольку квантовое состояние, представляемое вектором, не зависит от его умножения на любые комплексные числа, по модулю равные единице.

Кроме того, использование бра и кет позволяет подчеркнуть отличие состояния (записывается без скобок и палок) от конкретных векторов, его представляющих.

В отличие от алгебраических обозначений, где элементы базиса обозначаются как в бра-кет-обозначениях может указываться только индекс базисного элемента: Этим они похожи на тензорные обозначения, но, в отличие от последних, позволяют записывать произведения операторов с векторами без использования дополнительных (подстрочных или надстрочных) букв.

Математические свойства

Бра и кет можно использовать и в чистой математике для обозначения элементов сопряжённых друг другу линейных пространств. Если, например, то кет-векторы считаются при этом «векторами-столбцами», а бра-векторы — «векторами-строками».

Перемножение бра- и кет-векторов друг на друга и на операторы можно рассматривать как частный случай матричного формализма «строка на столбец». А именно, надо положить кет-векторы матрицами размера , бра-векторы — размера , операторы — размера , где  — количество состояний квантовой системы (размерность пространства ). Матрицы размера 1 × 1 имеют единственный элемент и отождествляются со скалярами. В случае бесконечномерного пространства состояний на «матрицы» (фактически ряды) приходится накладывать дополнительные условия сходимости.

Формула для сопряжённого вектора выглядит следующим образом:

где

Запись типа всегда означает скаляр. Бра-вектор всегда имеет скобку слева кет-вектор — скобку справа Вводится также произведение в «неестественном» порядке — (аналогичное матричному умножению вектора-столбца на вектор-строку), которое даёт так называемый кет-бра-оператор. Оператор имеет ранг 1 и является тензорным произведением и Такие операторы часто рассматриваются в теории операторов и квантовых вычислениях. В частности, оператор (при нормировке ) является проектором на состояние , точнее, на соответственное одномерное линейное подпространство в

Имеет место ассоциативность:

и т. д.

Литература

  • Белоусов Ю. М. Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория. — М.: МФТИ, 2006. — 408 с.
  • Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
  • Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 440 с.
  • Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 478 с.
  • Шпольский Э. В. Атомная физика. — М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 448 с.
  • Ярив А. Введение в теорию и приложения квантовой механики. — М.: Мир, 1984. — 360 с.
Эта страница в последний раз была отредактирована 23 июля 2019 в 18:14.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).