Биномиальное преобразование — последовательность преобразований или же преобразование последовательности, которая вычисляет её конечные разности. Понятие биномиального преобразования тесно связано с преобразованием Эйлера, которое является результатом применения биномиального преобразования к последовательности.
Определение
Биномиальное преобразование последовательности в последовательность имеет вид
Введём , где — оператор, имеющий бесконечную размерность и состоящий из элементов матрицы
Оператор обладает свойством инволюции:
- или в иных обозначениях ,
- где
- — символ Кронекера.
Изначальный ряд может быть восстановлен по правилу
Биномиальные преобразования последовательностей представляют собой n знакопеременных конечных разностей:
- ;
- ;
- ;
-
- где
- — оператор дифференцирования:
Пример
Биномиальные преобразования можно увидеть в таблицах, например, в данной:
0 |
|
1 |
|
10 |
|
63 |
|
324 |
|
1485
|
|
1 |
|
9 |
|
53 |
|
261 |
|
1161
|
|
|
8 |
|
44 |
|
208 |
|
900
|
|
|
|
36 |
|
164 |
|
692
|
|
|
|
|
128 |
|
528
|
|
|
|
|
|
400
|
Верхняя строка (0, 1, 10, 63, 324, 1485) определяется формулой , которая является биномиальным преобразованием диагонали (0, 1, 8, 36, 128, 400), которая в свою очередь, определяется формулой
Сдвиг
Биномиальный оператор является оператором сдвига для чисел Белла :
Простые производящие функции
Биномиальное преобразование производящей функцией последовательности связано с теорией рядов.
Пусть
Тогда
|
(простая производящая функция)
|
Преобразование Эйлера
Соотношение между простыми производящими функциями иногда называют преобразованием Эйлера, которое используется, например, для ускорения сходимости знакопеременных рядов. Если подставить в формулу для простой производящей функции, то получим
- ,
что сходится гораздо быстрее изначального ряда.
Можно обобщить это преобразование до вида при
Преобразование Эйлера также применяется к гипергеометрической функции , получая
Биномиальные преобразования, а в частности и преобразование Эйлера, связаны с цепными дробями. Пусть имеет цепную дробь .
Тогда
Экспоненциальная производящая функция
Для экспоненциальной функции имеем
Тогда
Интегральное представление
Когда последовательность может быть представлена в виде интерполяции комплексной функции, биномиальное представление последовательности может быть представлено в виде интеграла Норлунда — Райса от интерполяционной функции.
Обобщение биномиальных преобразований
См. также
Литература
- John H. Conway and Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers
- Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Vol. 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
- Helmut Prodinger, 1992, Some information about the Binomial transform
- Michael Z. Spivey and Laura L. Steil, 2006, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform
- Borisov B. and Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. Cont. Math., 14 (1): 77-82
Ссылки
Эта страница в последний раз была отредактирована 24 мая 2021 в 20:59.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.