Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Пусть есть векторное пространство над полем (чаще всего рассматриваются поля или ).

Билинейной формой называется функция , линейная по каждому из аргументов:

,
,
,
,

здесь и

Билинейная форма — частный случай понятия тензора (тензор ранга (0,2)).

Альтернативное определение

В случае конечномерных пространств (например, ) чаще используется другое определение.

Пусть есть множество векторов вида где .

Билинейными формами называются функции вида

где а — некоторые константы из поля

Говоря другими словами, билинейная форма — это функция от двух групп по переменных, являющаяся однородным многочленом первой степени относительно переменных из каждой группы.

Связанные определения

  • Билинейная форма называется симметричной, если для любых векторов .
  • Билинейная форма называется кососимметричной (антисимметричной), если для любых векторов .
  • Вектор называется ортогональным (более точно, ортогональным слева) подпространству относительно , если для всех . Совокупность векторов , ортогональных подпространству относительно данной билинейной формы , называется ортогональным дополнением подпространства относительно и обозначается .
  • Радикалом билинейной формы называется ортогональное дополнение самого пространства относительно , то есть совокупность векторов , для которых при всех .

Свойства

  • Множество всех билинейных форм , заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством.
  • Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм.
  • При выбранном базисе в любая билинейная форма однозначно определяется матрицей

так что для любых векторов и

то есть

  • Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.
  • Размерность пространства есть .
  • Несмотря на то, что матрица билинейной формы зависит от выбора базиса, ранг матрицы билинейной формы в любом базисе один и тот же, он называется рангом билинейной формы . Билинейная форма называется невырожденной, если её ранг равен .
  • Для любого подпространства ортогональное дополнение является подпространством .
  • , где  — ранг билинейной формы .

Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса

Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.

Иными словами, если координаты вектора в старом базисе выражаются через координаты в новом через матрицу , или в матричной записи , то билинейная форма на любых векторах и запишется, как

,

то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе, будут:

,

или, в матричной записи:

,
, где  — матрица прямого преобразования координат .

Связь с тензорными произведениями и функтором Hom

Из универсального свойства тензорного произведения следует, что билинейные формы на V находятся во взаимно-однозначном соответствии со множеством , где k — основное поле.

Так как функтор тензорного произведения и функтор Hom являются сопряженными, , то есть билинейной форме соответствует линейное отображение из в двойственное пространство . Это соответствие может быть проведено двумя путями (так как существует два функтора тензорного произведения — с зафиксированным левым аргументом и с зафиксированным правым), их часто обозначают как

.

См. также

Литература

  • Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1975.
  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — М.: Наука, 1971.
  • Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
  • Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. — М.: Высш. шк., 1998. — 320 с.
  • Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
Эта страница в последний раз была отредактирована 20 мая 2019 в 08:56.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).