Ассоциативная операция

Ассоциати́вная опера́ция — бинарная операция ${\displaystyle \circ }$, обладающая ассоциативностью (лат. associatio — соединение), или сочетательностью:

${\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)}$ для любых элементов ${\displaystyle x,\;y,\;z}$.

Для ассоциативной операции результат вычисления ${\displaystyle x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}}$ не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение ${\displaystyle x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}}$ при ${\displaystyle n>2}$ в общем случае не определено. Термин «ассоциативность» ввёл Гамильтон в 1853 году.

Примеры:

• сложение действительных чисел:

${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$

• умножение действительных чисел:

${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

• композиция функций:

${\displaystyle (H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F)}$

Примером неассоциативной операции является возведение в степень: результат выражения ${\displaystyle a^{b^{c}}}$ зависит от расстановки скобок: в общем случае ${\displaystyle a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}}$. В общем случае не всякая коммутативная операция ассоциативна (существуют коммутативные магмы^[en] с неассоциативной операцией).

По определению группы и поля умножение в группе, сложение и умножение в поле являются ассоциативными операциями. Множество (непустое) с введённой на нём внутренней ассоциативной бинарной операцией называется полугруппой.

Ослабленные варианты свойства ассоциативности — степенная ассоциативность и альтернативность.

Эта страница в последний раз была отредактирована 14 февраля 2021 в 18:55.